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DEMON STli. 
DE LiMPOSS. DE LA KÉS. ALGÉB1E DES ÉQUATIONS etc. 
algébrique des coefficient* de la proposée, étant substituée à la place de l’in- 
counue, conduit à une absurdité. Dans un premier paragraphe, l’auteur 
cherche l’expression générale des fonctions algébriques de plusieurs quantités, 
d’après la définition qu’une fonction algébrique résulte, 1° d’additions, 2° de 
multiplications, 3° de divisions, et 4° d’extractions de racines dont les expo- 
sans sont des nombres premiers. Les soustractions, les élévations aux puis 
sances et l’extraction des racines avec des exposans composés rentrent dans 
les opérations précédentes. I)’où il résulte, 1° que toute fonction rationnelle 
et entière des quantités ¿c l7 ¿r 8 , x z etc. c’est-à-dire, toute fonction qui peut être 
formée au moyen des deux premières opérations mentionnées, peut s’exprimer 
par une somme d’un nombre fini de termes de la forme Axf 1 ' x 2 m - . . . . , A 
étant une constante et m 17 m 21 . . . des nombres entiers; 2° que toute fonction 
rationnelle des mêmes quantités, c’est-à-dire, toute fonction qui peut être for 
mée au moyen des trois premières opérations, peut s’exprimer par un quo 
tient de deux fonctions entières: 3° que toute fonction algébrique peut être 
formée par des répétitions des opérations indiquées par 
(1) p f (x'i, A'jj, X - d ... . pi"'i Pt a -1 • • • •) 7 
où f désigne une fonction rationnelle des quantités entre les parenthèses; 
jtq, p 21 . . . des fonctions rationnelles de aq, x % . . ., et %, n 2 . . . des nombres 
premiers. On nommera, pour abréger, fonction algébrique du premier ordre, 
une fonction telle que p'. Si maintenant on formait une nouvelle fonction 
dans laquelle des fonctions du premier ordre entrassent de la même manière 
que pi, p 2 . . . entrent dans p\ on aurait une fonction algébrique du second 
ordre; et, en général, une fonction de l’ordre a serait celle qui pourrait 
contenir des fonctions de' tous les ordres, jusqu’à l’ordre g — 1, combinées 
entre elles algébriquement. Bien entendu que cette fonction de l’ordre g ne 
peut pas s’abaisser à un ordre inférieur, par des réductions des fonctions qui 
la composent. En outre, si cette même fonction de l’ordre g contient m 
quantités de cet ordre, on dira qu’elle est du m üme degré; et en la désignant 
par r, on pourra poser 
(2) v = i/o ~rP n + ( pp n -)-•••• -j-cin-ip n 
c’est-à-dire (pie l’on a ce premier théorème: Toute fonction algébrique v de 
Vordre g et du degré m, peut être représentée par la formule (2), ou n est 
un nombre premier, q ()1 q 2 , . . . q n _ x des fonctions algébriques de /’ordre g et 
du degré m — 1 tout au plus, et p une fonction algébrique de l’ordre g — 1,