DÉMONSTR. DE L’IMPOSS. DE LA RÉ S. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 
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telle qu’il est impossible d’exprimer p n par une fonction rationnelle de p, q 01 
<b • • • b-v 
Après avoir ainsi trouvé l’expression générale des fonctions algébriques, 
l’auteur considère, dans un deuxième paragraphe, une équation quelconque 
dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles des quantités aq, x 2 ... . 
et qu’on suppose résoluble algébriquement. En désignant donc par y l’in 
connue, et par 
(o) ip (a,, a? 2 , x 3 . ... y') — 0 
l’équation même, il faut que le premier membre se réduise à zéro, en met 
tant pour y une certaine fonction de la forme (2). Par cette substitution 
l’équation (3) se changera en une autre de la forme 
1 2 71—1 
(4) r 0 1\p n 4- r 2 p n 4 4 r n _ x p n — o, 
ou r 0 , r 17 /q, 7*3 . . . sont des fonctions rationnelles de aq, aq, x 3 . . . et de q 0J 
q 2 , q. â . . . Cette équation entraine les suivantes: 
(5) 7* 0 = 0, r x = 0, 7*2 = 0, r n _ x = 0; 
i 
car dans le cas contraire, l’équation (4) pourrait donner la valeur de p n en 
fonction rationnelle de p 1 7* 0 , r x . . . r n _ x , ce qui est contre l’énoncé du thé 
orème précédent. Si les équations (5) ont lieu, l’équation (4) et par suite 
l’équation (3), seront de même satisfaites par toutes les valeurs de y qu’on 
1 é JL 1 
obtiendra en mettant, au lieu de p u les n—1 valeurs ap n , ui t p n 1 . . . ^a n ~ x p", 
ou a est une racine imaginaire de l’unité. Par là on aura les valeurs de n 
racines de l’équation (3), savoir 
1 2 n—1 
ih = <to -\-p ”+g$p N h </»-i e " > 
1 2 h—1 
y* = qo-\-ap n -\-u i q 2 p n -\- • . • 4-«”~ 1 <Z»-ii? “ 7 
1 2 »—1 
yn = b J r a n - l p n + a n ~*q 2 p n 4~ • • • aq^p n ■ 
i 
ces équations donnent les n quantités p n : (/ 0 , q 2 . . . q n _ x en fonctions ration 
nelles des racines y u y 2 ... ÿ n . 
Si maintenant fx — 0 est une équation algébrique générale, résoluble 
algébriquement, et àq, x 2 . . . les racines de cette équation, on doit avoir 
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