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DÉMONSTK. DE L’IMPOSS. DE LA LES. ALGÉBK. DES ÉQUATIONS etc. 
1 2 n—1 
x — tS 'o ~f~ V n -j- S 2 V n -j- • • • s n _ x v n , 
cette formule étant analogue à la formule (2). D’après ce qu’on vient de 
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voir v n j s 0 , s 2 . . . **„_! seront des fonctions rationnelles des racines de l’équa 
tion proposée. Cela posé, considérons l’une quelconque des quantités v, «s 0 , s 2 ... s n __ 1 , 
par exemple v, en désignant par n’ le nombre de toutes les valeurs diffé 
rentes de v, qu’on obtiendra en échangeant entre elles de toutes les manières 
possibles les racines de l’équation proposée, on peut former une équation du 
degré n' qui ait toutes ces valeurs pour racines, et dont les coefficiens soient 
des fonctions rationnelles et symétriques des valeurs de v, et par suite fies 
fonctions rationnelles de aq, x 2 . . . En faisant donc 
1 2 v— 1 
v — uV -]- t 2 u v -J- • • • -j- t v _i ¿î. y , 
toutes les quantités /«, î 0 , t 2 . . . C—i seront des fonctions rationnelles des 
valeurs de v, et par suite de aq, x 2 . . . En poursuivant ce raisonnement, 
on établira le théorème suivant: 
Deuxieme théorème: Si une équation algébrique est résoluble algébrique 
ment, on peut toujours donner a la racine une forme telle, que toutes les 
expressions algébriques dont elle est composée pourront s'exprimer par des 
fonctions rationnelles des racines de Véquation proposée. 
Dans le troisième paragraphe on démontre, d’après un mémoire de M. 
Cauchy, inséré dans le cahier XVII e du Journal de l'Ecole Polytechnique, 
que, 1° le nombre des valeurs d’une fonction rationnelle de n quantités, ne 
peut s’abaisser au-dessous du plus grand nombre premier contenu dans n, 
sans devenir égal à 2 ou à 1; 2° que toute fonction rationnelle qui a deux 
valeurs différentes aura la forme 
p —j— q (x x x 2 ) (x x xj) • • • {x 2 xjf • • • (x% xf • • • 
et que, si elle contient 5 quantités, elle deviendra 
p —J— q (x x xj] (x x x.fj (x x xf (x x xfj (x 2 xf) (x 2 xf) 
(x 2 xf) (à‘ 3 xfl (x 3 xfj (x^ xj), 
ou p et q sont des fonctions invariables. 
On démontre ensuite que toute fonction rationnelle de cinq quantités 
qui a cinq valeurs différentes peut être mise sous la forme