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DEMONSTR. DE L’IMPOSS. DE LA UES. ALGEBR. DES ÉQUATIONS etc. 
théorème cité de M. Cauchy, le nombre o sera exclu, et par conséquent il 
ne restera pour m que les deux valeurs 5 et 2. 
1. Soit d’abord m = 5; on aura, d’après ce qu’on a vu précédemment, 
i 
v = R b = r 0 -\~ i\x -|- r 2 x 2 -j- r 3 x s r 4 æ 4 , 
et de là 
_1 2 3 4 
x = s 0 -|- s x R 5 -|- s 2 li 5 -)- s a R 5 -|- sJÊt 5 , 
,<? 0 , .s,,... étant, de même que Z?, des fonctions invariables des racines. 
Cette valeur donne, selon ce qui a été établi dans le deuxième paragraphe, 
pour .«qi? 5 , une fonction rationnelle des racines, savoir: 
i 
s x li 5 = l fa -|- a 4 x 2 ~j- a 3 x 3 -f- a 2 x 4 -|- ax 6 ) = 2, 
a étant une racine imaginaire de l’équation ce'—1 — 0; mais cela est im 
possible, car le second membre a 120 valeurs différentes, tandis qu’il doit 
être racine de l’équation z :> — s\R-= 0, qui n’est que du cinquième degré. 
Le nombre m ne peut donc être égal à 5. 
2. Soit 7ïi = 2. Alors v aura deux valeurs qui, selon ce (pie M. Cauchy 
a démontré, doivent avoir la forme 
v =p -|- qs = }/R, 
ou 
* = («1 — »*) fa — 25s) • • • fa — æ B ), 
et p et q sont des fonctions invariables. 
En échangeant entre elles les deux racines x 1 et a? 2 , on aura p — qs= — | //, 
et par conséquent p = 0, et par suite 
De là il suit que toutes les fonctions algébriques du premier ordre qui 
se trouvent dans l’expression de la racine, doivent être de la forme a -f- 
ou a et fi sont des fonctions invariables. Maintenant il est impossible d’ex 
primer une racine de l’équation générale du cinquième degré, par une fonc 
tion de cette forme; par conséquent il faut qu’il y ait, dans l’expression de 
la racine, des fonctions du deuxième ordre, et qui doivent contenir un radi 
cal de la forme