RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 4 
221 
m m (m — 
X A ; i 
1 1.2 
1) 
x 2 -f 
qu’on suppose l’existence de l’équation ci-dessus, il reste encore à chercher 
la valeur de (1 —|— a?)**, car cette expression a en général une infinité de va 
leurs différentes, tandis que la série l-\-mx-\- • • • n’en a qu’.une seule. 
Le but de ce mémoire est d’essayer de remplir une lacune par la so 
lution complète du problème suivant: 
’’Trouver la somme de la série 
1 
1.2 
m (m — 1) (m— 2) 
ï .273 " 
x 3 
”pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x et de m pour 
’’lesquelles la série est convergente.” 
2. 
Nous allons d’abord établir quelques théorèmes nécessaires sur les séries. 
L’excellent ouvrage de M. Cauchy ’’Cours d’analyse de l’école polytechnique”, 
qui doit être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches 
mathématiques, nous servira de guide. 
Définition. Une série quelconque 
V Ô “H V 1 V 2 ‘ ‘ ' * * ' 
sera dite convergente, si pour des valeurs toujours croissantes de m, la 
somme v 0 -j- v t -|- • • • -f- v m s’approche indéfiniment d’une certaine limite. 
Cette limite s’appellera la somme de la série. Dans le cas contraire la série 
sera dite divergente, et elle n’a pas de somme. D’après cette définition, pour 
qu’une série soit convergente, il est nécessaire et il suffit que pour des va 
leurs toujours croissantes de m, la somme v m -)- v m+1 -J- • • • -\-v m+n s’approche 
indéfiniment de zéro, quelle que soit la valeur de n. 
Donc, dans une série convergente quelconque, le terme général v m s’ap 
prochera indéfiniment de zéro*). 
Théorème I. Si en désignant par p 0 , , (x . . . une série de quantités 
positives, le quotient —— > pour des valeurs toujours croissantes de m, s’ap- 
Qm 
proche indéfiniment d’une limite a plus grande que 1, la série 
*') Pour abréger, on représentera dans ce mémoire par oj une quantité qui peut être 
plus petite que toute quantité donnée.