RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
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ou, en faisant a = T 
2 mco , -, 
Û+T et m = “ 1 ’ 
/ 2n — 1 (o 
/ ù U I (ü \ . / ^ 
< J 
/2«—3 «j 
2 n -}- 1 2 
/ 2 n — 1 « 
1 niii+ï 
Maintenant on a 
¿C Cf 
2 n — 3 co 
2 n 1 2 
+ •>-• (—1)”9> 
2 n -j- 1 2 
2 m -j- 1 2 
—|— «r 
. . . I m co 
x — (—l) n smO, et (p\ 2n +l ¥ 
sin 0'”\ 
donc en substituant: 
v\ 
Sinip | /1 ( l) w sin0 sill fl' sin0 siïl0 /,/ + sin0 sill0^ n l)«sin0 
in il) V l + (—l)"sin0 sin0'-|-sin0 sin0"'— sin0 sin 6V n -V — (—l) M sind ’ 
1 -(- sin ip 
et de là 
tang (45° — \xp) 
tang\(0' 0) tang|(0 /// +0) tangf[0^"-^ + (—1-)”0] [450_/ ]\«i 5»] 
tang j (0' -f 0) tang 4 (0" ' _ 0) tang | [0i 2w_ t) — (— 1) ” 0] ® L > 2 1 
C’est précisément la formule de M. Jacobi. 
Dans la formule (1), on peut toujours supposer le second membre po 
sitif. En effet, en différentiant, on aura 
7 V1—A 2 sin 2 rp ln 
± a dtp = ■■ = • de. 
y 1 — /c 2 sin 2 0 
En supposant 0 toujours croissant, le second membre sera toujours positif. 
Donc en déterminant la valeur 1p de sorte qu’elle soit croissante et décrois 
sante en même temps que 0, on doit prendre le signe supérieur. O11 a 
donc 
dd C dif.) 
LL 
ou bien 
f 0 Vl—Æ 2 sin 2 0 ‘ J 0 Vl Psill 2 ^ 
F(k,0)= t aF(l,xp). 
E11 remarquant que ip doit être croissant et décroissant en même temps 
que 0, et en ayant égard à la formule (2), on tirera aisément la consé 
quence que xp doit tomber entre n et —i—yr, si 0 tombe entre 0 (m) 
et e (m+1) . 
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