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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
îp(ü) — 0) = ip(œ — a — 0) 5 
donc 
Vi № ( e + «)]=y bp° + i p i œ — e ) ] , 
c’est-à-dire 
V , iL9(^ + «)]=V , i(^)- 
On aura de la même manière 
V'i[y(0 + / 5 )] = V' \(<PÛ)- 
La première de ces équations donne, en mettant successivement 0a, 
6 -J- 2 a, . . . au lieu de 6, 
(11) yj, [(p(6 -f ma) 
où m est un nombre entier quelconque. De même la seconde équation donne 
V , i[<f>( ÿ +, ll P)] = V J i(îpQ, 
d’où, en mettant 0 -|- ma au lieu de #, et en ayant égard à l’équation (11) 
on tire 
(12) ip 1 [<p(ô -)- ma -f ( u/?)] == {cpO). 
Donc la fonction i/q (</>#) reste la même, en y substituant au lieu de qO une 
autre racine quelconque de l’équation (1). En attribuant à m et a toutes 
les valeurs entières depuis zéro jusqu’à 2 n et en ajoutant, la formule (12) 
donne 
1 2 n 2m 
(13) Vi{<p0) = ( 2n+1 ) 8 ■ Z* y Vi l+ ma + ,“#)]• 
Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symé 
trique des racines de l’équation (1), donc on pourra l’exprimer rationnelle 
ment par les coefficiens de cette équation, c’est-à-dire par (p{2n-\-V)0. Soit 
donc 
y 1 (<f>0)=p, 
la quantité p sera une fonction rationnelle de Or je dis que 
p sera toujours entier. En effet soit (p{2n-\- 1)0 = y et p = > où p' et 
q sont des fonctions entières de y sans diviseur commun. Soit y = q (2w-j- l)d 
une racine de l’équation q'— 0: la quantité p — ^[ipO -j- ipiio — #)] sera in 
time en faisant 0 = d, donc on aura ipâ -[- ip (ai — d) = ; maintenant il est 
évident par la forme de la fonction ipO, que cette équation ne peut subsister 
à moins qu’une quantité de la forme 
(f (d -f- ma -}-///?) ou (p (œ — d -[- ma -[- u.ft)