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général sont irréductibles par des fonctions algébriques. Dans ce chapitre nous 
chercherons les relations qu’on peut obtenir entre ces quatres intégrales par 
des fonctions logarithmiques. Pour cela il faut trouver la fonction logarithmi 
que la plus générale, dont la différentielle est décomposable en termes de la forme 
Ax n . dx A.dx 
VR ’ (*-«)'". VR ’ 
car en intégrant la différentielle ainsi décomposée et faisant usage des réduc 
tions du chapitre précédent, on obtiendra la relation la plus générale qu’on 
puisse trouver par des fonctions logarithmiques entre les quatre intégrales 
proposées. 
23. On peut se convaincre aisément que la fonction logarithmique cher 
chée doit avoir la forme suivante: 
T' — A. log (P+QYR) + A'. log (P> + QYR) 
+ A". log (P" -f Q"YR) +... -f- JO). log (PO) -f Q^YR) 
P, Q, P', Q' etc. étant des fonctions entières de x et A, A' etc. des coelfi- 
ciens constants. 
Considérons un terme quelconque T 
t^ant on aura: 
dP + d QV R + ^ • 
dT=A. 
A. log (P -f- QYR)- 
qdR 
VR 
En difieren- 
P+QVR 
ou bien, en multipliant en haut et en has par P — QYR> 
JT— 4 PdP-QHRdQ+±QdK) ¿ \PQdR+(PdQ-QdP)R 
P' 1 -Q‘ 2 R ' ‘ (P 2 -QÏR).VR 
d’où l’on tire 
T— —1 0 WP 2 Q*R\ -L A f * p % dR A Pd Q- QdP)R 
2 v ' J (P--(pR).vR 
11 est aisé de voir qu’on peut faire abstraction du premier terme de dT qui est 
rationnel, et qui donne dans la valeur de T le terme . log (P 2 — Q 1 R) : en 
retranchant donc ce terme de T, il restera 
a • iog (p+qvh) -4 log (^ - q‘K)=4 log (£§£§) ■ 
On peut donc faire 
T’ = J. log 
La diftërentielle de cette expression ne contient aucune partie rationnelle; 
et on aura en différentiant : 
(P ± qVR\ , A ,, (F*Vy/R\ , 
V p-e/Æ ;-t-\r-o WR )-r •• •