Tome second. 
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1. Si m > n -f- 2, N est du degré 2m, et M du degré m -f- n + 3, donc 
— est tout au plus du degré 0, donc la seule partie entière qui peut y être 
contenue, est une quantité constante. 
2. Si m < n -f- 2? N est du degré 2n -j- 4, et M du degré n -j- m -(- 3, 
M 
donc — est tout au plus du degré 0, et par conséquent sa partie entière une 
constante. 
3. Si m — n -f- 2, N peut être d’un degré quelconque moindre que 2m. 
Soit donc N du degré /li, on voit que M est tout au plus du degré fi-\-m—1—ri 
y/ 
= //-}-1, si non jn=2n-■]— 4; car alors M est du degré fi et ~ du degré 0. 
M 
Donc dans ce cas, est tout au plus du degré 1, et sa partie entière de la 
forme Bx -f- B\ 
M 
De ce qui précède il suit que - - est toujours de la forme 
£.==Bx+ J B'+^_ 
N x-a 
C 
C" 
x- 
x-a x-a" 
-a, x—a', x - a", ... n’étant point des facteurs de R. 
+ ... 
jç- est absolument irréductible dans tous 
les cas; elle constitue donc une fonction transcendante particulière. D’après 
la valeur de 4^ il est aisé de conclure que a la même forme. 
N 1 dx 
Soit donc 
dT> 
\ x-a x-a x-a" x-a^ ' 
dx 
d’où 
V = k Jvïï + k 'J^ X R + L -fl^7R + • ' '+ m J-, 
dx 
dx 
\/ R J VR J {x-a)y/R ' 1 “ V (x-a^)\/R 
Voilà donc la relation la plus générale qu’on puisse trouver entre les in 
tégrales proposées. 
23. Pour appliquer l’équation précédente, je vais résoudre les cinq pro 
blèmes suivants: 
1. Exprimer les deux intégrales et J p ar i e plus petit 
nombre possible d’intégrales de la forme j- 
dx 
(jr-a)y/ R