Il 
Sur les conditions nécessaires -pour que V intégrale finie d y une fonction 
de plusieurs variables et de leurs différences soit intégrable lorsque les 
variables sont indépendantes V une de V autre, ou en d 3 autres termes pour 
quune telle fonction soit une différence complète. 
Soit U la fonction donnée qui doit être une différence complète, et SU 
son intégrale. 
Or si SU est l’intégrale d’une différence complète 
êSU le sera de même; car si on a SU=. U, on aura 
âSU =ô'V. Ayant donc U=f(x,y,z. . Ax, Ay, Az... A*x\ A*y, A^z ..) 
on aura d’après le mémoire précédent 
Sà U = Sâx. P + Sôy. Q + Sâz. B+... + « 
où P=f'(x) — A f'(A(x— A A)) -f- A*f'(A\x — 2Ax -f- A*xf) — etc. 
0 =f'(y) - Z/'( Ay - Jy)) + ^fi/Ay - + Ay)) - etc. 
etc. 
et ce est la partie hors du signe d’intégration. 
Or ôx, ôy, ô'z étant tout-à-fait indépendantes, il s’ensuit que Sâx. P, Sây.Q, 
Sâz. R, etc. ne sauraient être intégrables à moins que l’on n’ait/*=0, Q=z0, 
/2=0, etc. De là on tire le théorème suivant: 
Pour qu’une fonction de plusieurs variables et de leur différences 
finies, f(x, y, z ... Ax, z/y, Az...) soit une différence complète, il faut 
qu’on ait les équations de condition suivantes: 
0 — f'(x)—A/'[A(x—A.r)]+A 2 /'|A 2 (.r—2A.r+A 2 .r)] — A 3 /'[A 3 (x—3Ar+3A 2 .r—A 3 .r)]+etc. 
0=/ , (ÿ)—Af'lHs—A2/)]+A 2 /'[A 2 (^—2A^+A 2 ^)] — A 3 /'[A 3 (^—3A#+3A 2 î/—A 3 y)]+etc. 
0=/'(s)—A/'[A(s—As)]+A 2 /'[A 2 ( 3 —2A3 + A 2 z)] —A 3 /'[A 3 (a—3Aa+3A 2 z—A 3 s)]+etc. 
etc. 
Ces équations sont donc les mêmes que celles qui ont lieu lorsque SU 
est un maximum ou un minimum entre des limites données. Les équations (B) 
Tome second. 2