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Les radicaux qui composent une expression algébrique peuvent être de 
deux espèces: ou ils sont nécessaires pour former l’expression, ou non. S’ils 
ne sont pas nécessaires, on peut les chasser, et alors l’expression proposée 
contiendra un nombre moindre de radicaux. De là il suit qu’on peut toujours 
supposer que les radicaux soient tels qu’il soit impossible d’exprimer l’expres 
sion algébrique par une partie des radicaux qui s’y trouvent. 
Cela posé, comme le nombre des radicaux est limité, il s’ensuit que par 
mi les radicaux, il se doit trouver au moins un qui ne soit pas contenu sous un 
Ri 
autre radical. Supposons que YRy soit un tel radical, la quantité R y pourra 
toujours s’exprimer rationnellement en les autres radicaux et les quantités connues. 
Maintenant y est une fonction rationnelle des radicaux et des quantités 
connues; donc on peut faire 
y = —, 
V2 
où y t et y % sont des expressions entières des radicaux et des quantités con 
nues. Donc on pourra d’abord faire 
y, + Pi • VRy + pSvrJ +. • • + P, (v/X) 
y— A — 
y* 
ri (* x -, Y 2 
Ç 0 + Qi V + Q?\ V R y) + • • • + Ç/ (, 
où P 0 , P y, ... Qo, Q» ■ ■ . sont des expressions rationnelles des quantités con 
nues et des autres radicaux. Or on peut encore simplifier beaucoup cette ex 
pression. D’abord désignons par 
y'*, y*• • • y^~ x) 
Ri Ri 
les valeurs que prendra y 2 en mettant au lieu de Y&i les valeurs coj/II I 
Ri 
R. 
I* 1 ri f 
co*Y(o étant une racine imaginaire de l’équation co^i — 1 = 0; 
Ri 
on sait que le radical Y^i et la quantité co disparaîtront de l’expression du 
produit 
y*ÿ*y\---yl* i ~ x \ 
i 
R. 
et que l’expression y x >y\^y n ^ ••• y^~ x ^ sera rationnelle en j/7? x sans co. 
y — 
yi-y'i-y^ 
y%-W*-y\ 
y<i 3 
y-i^ 1-1) z i 
On aura donc