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De la fonction transcendante 2 
Comme l’intégrale J'—— es t la première fonction transcendante qui se pré 
sente dans le calcul intégral ordinaire, ainsi S en est la première qui se 
présente dans le calcul inverse des différences, où elle est de la même impor 
tance que f*L dans le calcul intégral ordinaire. A cause de l’analogie de ces 
deux fonctions je désignerai S P ar Lx, comme on désigne'J*— par 
Je commencerai par le développement de la fonction Lx en série. Sup 
posons 
x)=a -\-fix-\- yx(x -1) -f- dx(x-l) (x -2) ex(x -1) (x-2)(x-3) etc. (1) 
En prenant la différence finie de part et d’autre, on aura 
x)———, Jx=\,/lx{x- 1) = 2x, Jx(x-\){x-2)—3x(x-1), etc. donc 
Cl-\-JF 
-~z=ft-\-2yx-\-3dx(x—l)-\-4ex(x—l)(x—2)-f-5Çx(x—l)(x—2) (x—3) + etc. 
En faisant ici x=0, on obtiendra-— = fi. 
Prenant de nouveau les différences finies, on aura 
z/Ç-i—'ÿ = 2y-f- 2.3âx-j-3.4.6x(x—1) -f- etc. 
—) = 2.3â-\-2.3A.ex-{-3 A.5Çx(x— l)-|-etc. 
W —) = 2.3Ae-\-2.3A.5& + etc. 
\ a+x / 1 
etc. 
et en faisant # = 0, il viendra 
1 1 
a+1 a 
2 = 
«(«+1) 
donc y 
2 • 
«(a+1)