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f(y,x) ,dx = — . d's (S) 
("rfx) 
où on a mis r au lieu de y dans le second membre. 
On aura donc, en développant la différentielle d's, une équation de cette 
forme : 
f{y,x).dx = cp(x) da + q> x (x).da x -(- qp 2 (#)• àa % ”1“ (6) 
cp(x) f cp x (x) etc. étant des fonctions rationnelles de x, «, a x , a 2 etc. 
Cela posé, soient x 19 x 2 , x 3 ...x n les racines de l’équation î=0; on 
aura, en substituant ces valeurs au lieu de x dans l’équation (6), n équations 
semblables qui, ajoutées ensemble donneront celle-ci: 
f(y y , x x )dx x + f(y 2 , x 2 )dx 2 + .. . + f(y H , x n ).dx n 
I ((p(x x ) -j- cp(x 2 ) -f- cp(x 3 ) (p{x n )) -da 
+ + ffiM + • • • 4* l’iW) • da x 
+ ( ( Pz(*i) + 2) + ^2(^3) + • • • + <P 2 (x n ))-da 2 
+ etc. 
c’est-à-dire 
f(y l ,x 1 )'dx 1 -\-f(y 2 ,x 2 ) . dx 2 + • • •+f ld» ? x n )dx n =R.da R x .da x -f-R 2 .da 2 -f- .. 
où R, R x , R 2 ... sont, comme il est aisé de voir, des fonctions rationnelles 
de a, a x , a 2 ... 
Maintenant le premier membre de cette équation est une différentielle 
complète; le second membre est donc aussi immédiatement intégrable. En dé 
signant donc 
J{R.da -j— R x da x —J— R 2 dci 2 —j— ...) 
par ç, il est clair que q est une fonction algébrique et logarithmique de 
Ojj y • • • 
On aura donc en intégrant et désignant 
ff(y, oc) .dx par y(x), 
y fa) 4~ ^(^2)+vfa) H - • • • ~h vfa) — c 4~ 9 • (^) 
Cette équation exprime, comme on le voit, une propriété de la fonction 
\p(x) qui en général est transcendante. 
Les quantités x , x 2 , x z ... x n étant des fonctions des variables indé 
pendantes a, a l , « 2 ..., il est clair qu’on peut, en supposant que le nombre de 
ces variables est y, regarder un nombre^ des quantités x x , x 2 , x z ... x n com 
me indéterminées, et les n—y autres comme des fonctions de celles-Ci. On 
peut trouver ces fonctions de la manière suivante.