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dune 
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a.(da + x. da x +x 2 . da 2 + ... + x u ~\da rl ^ 
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et '#r,)-|-<i'(æ 2 ) + . •• + ¥(*„) = <>, 
p étant en général une fonction entière qui s’évanouit lorsque le degré de a est 
moindre que celui de a x . Dans ce cas on a donc 
^K) + ^K) • • • + VM —C. (23) 
Les quantités x x , x 2 , x 3 ... x n sont liées entre elles par les équations 
* + «!*! + v\ + • • • + (i i u-ix 1 t*- l + x/=fpl. 
«+«,*, + “»*** + ,••• + a i‘-i x -r l + x* t ‘ = J ^~ ) 
a+a 1 x n +a^x\ + ... + a^xj^ -l r xJ‘ = J^fA. 
où l’on a fait pour abréger 
a i — ÇP( x ) et — (<? + à x x + + • • • + £*-i# M_1 ) — f(x)- 
En faisant dans l’équation (23) x l =x' l , x 2 = x’ 2 etc. on aura 
+ ^(^ 2 ) + • • • + = ip(x\) + yj(x’ 2 ) + ... + y(x' n ). 
Dans cette équation on peut regarder â, â x etc. comme des variables; par 
conséquent on peut regarder x x , x 2 , x 3 ... comme des variables indépendantes, 
et faire en sorte que ii/(x'„) = 0, 'ipÇx',^ x ) = 0 V J ( x \u+1) — 0. 
On aura donc la formule 
'V'K) + + + Vi^n) = V>( x \) + ^(^a) + + v№f*) • C 2 * 1 )- 
Soit par exemple a= 1, a x =x, on aura yj(x) =^^- = log;r. 
0 = à -f- (ix -f- -(-...+ a u _ix> u -J- XV+ 1 
â =(— 1> U+1 - X x -X 9 .x 9 ... X M+1 
â =(— i)“ +1 - • *' a • x \ • • • rf/i+i ; 
... = x^ l+x = 1, on aura 
donc si l’on fait x\ == x' 3 ■= 
sytf ■ /у* /у* /y* /y» • 
Л 1 •‘^55*^3 * * • Д 7<+1 5 
par conséquent 
]o S Ю + log(ar a ) + ... + log (x u+1 ) = log (x t .x 2 .x 3 ... x M+1 ) 9 
comme on sait. 
Soit maintenant a = 1, a x = 1 -j~ x 2 , on aura 
1jj(x) = arc. tang (x), 
Tome second. 
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