206 §.17,2. 
Ebene der «teil Fläche mit einer beliebig hinzugefügten Ebene 
bildet, so ist*) 
cos pi + «, cos p2 + • • + « n cos pn = 0 . 
Beweis. Man bezeichne die Normalprojectionen der Eck 
punkte A, ß, C, .. auf die beliebig angenommene Ebene durch 
A x , B x , C x , .. . Die Summe 2 der Projectionen der Polyeder 
flächen besteht aus der Summe aller Dreiecke, welche einen 
beliebigen Punkt 0 der Projectionsebenc zur gemeinschaftlichen 
Spitze haben, und deren Basen die Seiten der durch Projection 
der Polyederflächen entstandenen Polygone sind. Die Summe 
dieser Dreiecke enthält aber zu jedem Dreieck 0M X N X auch 
das entgegengesetzte ON x M x , folglich verschwindet sie und 
mit ihr die Summe 2. Nun ist die Projection der den Fläche 
F l G l H l . . = FGH . . cos pi, 
also verschwindet die Summe a l cos p, + a 2 cos p2 -+-.. . 
Zusatz. Construirt man auf den Normalen der Flächen des 
Polyeders je eine Strecke a x , « 2 , .., a n proportional den Wer- 
then a x , « 2 , . ., a n der Flächen, zu denen die Normalen gehö 
ren, so ist zufolge der bewiesenen Gleichung auch 
a { cos pl + a., cos p2 + . . + a n cos pn = 0 , 
wo nun unter cos pi der Cosinus des Winkels verstanden wer 
den kann, den die Gerade, auf der die Strecke cr^ liegt, mit der 
Normale einer beliebigen Ebene d. h. mit einer beliebigen 
Geraden bildet. Daher erhält man (I) ein geschlossenes Poly 
gon, wenn man, ohne die Richtung der Strecken a x , o 2 , . ., a n 
zu verändern, mit dem Ende der ersten Strecke den Anfang 
der zweiten, dann mit dem Ende der zweiten den Anfang der 
dritten u. s. f. vereint. Es giebt also für jedes Polyeder ein 
zugehöriges Polygon, dessen Seiten und Winkel den Flä 
chen und Flächenwinkeln des Polyeders gleich sind, so dass 
jeder polygonometrischen Gleichung zwischen den Seiten und 
Winkeln des Polygons eine polyedrometrische Gleichung zwi- 
*) L’Huilier théorèmes de polyedr. \ 799 (Mém présentés à l’Inst. \. 
1805 p. 264). Carnot 1. c. Die Voraussetzungen, unter welchen die Glei 
chung gültig ist, werden in den angeführten Schlitten nicht genau ange 
geben.