§.5, I. 
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§. 5. Producte von Determinanten. 
1. Lehrsatz. Wenn ans zwei gegebenen Systemen von 
Elementen 
ii u ¿> u . . b ip 
a 
»P 
J np 
ein drittes System von Elementen gebildet ist 
Ct , . . C|»>. 
C/n • • t'nn > 
nämlich das /de Element der /teil Zeile dadurch, dass man 
die Elemente der den Zeile im ersten System 
a h «¿2 • • a ip 
der Reihe nach mit den Elementen der /den Zeile im zweiten 
System 
h k\ b /ii • • b kp 
multiplicirt und die Producte addirt, d. h. 
c ik ~ a ii b ki + a h b kz + • • + a ip b kp > 
so kann die Determinante R = 2 ± c u .. c nn des abgeleite 
ten Systems aus Determinanten von Systemen der gegebenen 
Elemente berechnet werden. 
Man bilde aus einer beliebigen Combination von n Golonnen 
des ersten Systems die Determinante P, und aus P durch Ver 
tauschung von a mit b die Determinante Q, deren Elemente dem 
zweiten System angehören. Dann ist R == ^ PQ die Summe 
aller möglichen Producte PQ. Wenn p — n, so reducirt 
sich R auf das eine Product PQ. Wenn /)<??, so verschwindet 
R identisch*). 
Beweis. Wenn jede der n Numern r, s, /,.. der Reihe nach 
die Werthe i, 2,. ., p erhält, so ist nach Voraussetzung das 
Anfangsglied der Determinante R 
*) Binet und Cauchy (in den gleichzeitigen Abhandlungen J. de l’6c. 
polyt. Cah. 16 p. 286 und Cah. 17 p. 81, 107) haben diesen Satz durch 
Betrachtung der besondern Fülle, welche Lagrange (Mem. de l’acad. de 
Berlin 1 773 p. 285) und Gauss (Disquis. arilhm. 157. I59. 268, 1) gegeben 
hatten, abgeleitet. Vergl. Jacobi Det. 13 und 14.