Wir haben wie früher 
die n Bestimmungsgleichungen: 
a ix -f- bi y —Ci z —1, = 0 \ 
a 2 x + b 2 y -j- c 2 z +1 2 = 0 j (108) 
mit den u Unbekannten x, y, z . . . Hiezu treten noch r 
Bedingungsgleichungen: 
Po + PiX + p 2 y + p 3 z = 0 ^ , inm 
qo + qi x + q 2 y + q 3 z = o / ( 
welchen die u Unbekannten in aller Strenge genügen müssen. 
Bezüglich der Zahlen Verhältnisse zwischen n, u, und r ist das Fol 
gende zu bemerken. Damit die Unbekannten nicht schon durch die Be 
dingungsgleichungen allein bestimmt sind, mus u > r sein. Um je 
doch andererseits überhaupt von einer Ausgleichung sprechen zu können, 
müssen nach Elimination von r Unbekannten aus den Bestimmungs 
gleichungen noch mehr Geichungen als Unbekannte vorhanden sein, d. b. 
es mus n u—r sein. 
Denkt man sich das gesuchte System der Unbekannten in die Be- 
stimmuugsgleichungen eingesetzt, so gehen diese über in 
die Fehlergleichungen: 
ai x + b x y + c t z +1, = v t | 
a 2 x + b 2 y-f-c 2 z -f ] 2 = v 2 i (GO) 
in welchen v wieder die wegen der unvermeidlichen Beobachtungsfehler 
an den Beobachtungen anzubringenden wahrscheinlichsten Verbesse 
rungen sind. 
Die direkte rechnerische Lösung der Aufgabe führt auf ein System 
von u -J- r 
Normal gleichungen: 
[aa] x + [ab] y -f [ac] z -f p x k, -f q x k 2 -f [al] = 0 
[abj x -f- [bb] y -f- [bc] z -|- p 2 k x -j- q 2 k 2 -j- [b 1] = 0 
[ac] x -f [bc] y + [cc] z + p 3 k 2 + q 3 k 2 + [c 1] = 0 
Pi x + P2y + Psz + Po =0 
qix + q 2 y + q 2 z + q 0 =0 . 
(HD 
aus welchen man x, y, z als die u Unbekannten finden kann, ohne sich 
um die r Hilfsgrössen k weiter zu kümmern. 
Zur mechanischen Ausgleichung bedürfen wir dieser Gleichungen gar 
nicht; wir ermitteln die Unbekannten vielmehr unmittelbar aus den Fehler 
und Bedingungsgleichungen.