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darà dunque : 
dx"‘ 
dp 
, \,dx( n ) 
in cui -y indica la derivata di 
Ma siccome si ha : 
x'—o'— p,x"=o" —p, ec x( n )—o( n ) —p ; 
così si avrà : 
dx' dx" dx'" _ dxM _ 
dp dp~dp dp ’ 
e l’equazione precedente si ridurrà a questa : 
(b) f (x r ) -h f (®") -4- y (x'") 4-.. 4- y (x (*)) = o. 
E facile vedere che quest’ eguaglianza è simmetrica rispetto 
alle x e quindi anche rispetto alle osservazioni o. Si ha, met 
tendo per le x i loro valori nell’ equazione ([b), 
y (o' —p) + y (o"—p) 4- y (o” —p) H-.. 4- y(o M—p) = o. 
Ora, se questa equazione si suppone risolta rispetto a p, si 
avrà evidentemente per valore di p una funzione simmetrica 
delle osservazioni ; e se dimostreremo ancora che, quando si ha 
o’=o"= o'"—o"" = = oW=q, 
si ha pure p = q, avremo dimostrato che p è una media. 
Supponiamo la funzione ■]> (x) sviluppata in serie col teorema 
di Maclaurin ; avremo : 
^(x) = ^(o)+xy(o) + ~y'(o)-h T ^y ,, (o)-h...., 
e siccome $ (x) deve conservare il medesimo valore cambiando x 
in — x, così i termini di grado dispari devono sparire, e si deve 
avere in generale 
y (o)~y (o) = -y ir " (o) = ... — ù 2k + l (o) = o. 
Ciò posto, se si ha 
o'=o"— 0 "'= o"" =... = o(») = q, 
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