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Summe unendlich kleiner Grössen zweiter Ordnung ebenfalls gleich Null 
annehmen, so dass nur mehr bleibt: 
a/ dx -f V dy -f c,' dz -}- ... -f d a, x' -f- d b x y' -|- do, z' -f- = 0 (162) 
Setzt man die Summe der konstanten Glieder, welche rechnerisch 
zu ermitteln ist: 
daj x'-fdb x y' f dcj z' f ... = (h) (163) 
so besteht für die gesuchten Verbesserungen folgendes Gleichungssystem: 
a,'dx-fb/dy-f c/dz + (l 1 ) = 0 1 
a 2 'dx-j-b 2 'dy-j-c 2 'dz-f(l 2 ) = 0 | q 64 x 
a 3 'dx-j-b 3 'dy + c 3 'dzf (1 3 ) = 0 | 
Diese Gleichungen entsprechen bis auf die konstanten Glieder (1) voll 
kommen den zur ersten Auflösung verwendeten Gleichungen (161), so 
dass nach Neueinstellung der Absolutglieder die Ermittlung der Ver 
besserungen tatsächlich ohne Änderung der Koeffizienteneinstellung vor 
genommen werden kann. 
b) Verbesserung eines durch Ausgleichung vermittelnder 
Beobachtungen erhaltenen Näherungssystems. 
Unter Beibehaltung und entsprechender Erweiterung der vorhin auf 
gestellten Bezeichnungsweise liefert die erste Ausgleichung die Näherungs 
unbekannten x', y' . . die der Verbesserung dv bedürftigen Werte v' 
und die Fehlerquadratsumme [v'v'J. Um die an den Näherungsunbe 
kannten noch anzubringenden Verbesserungen zu finden, nehmen wir eine 
Umformung der allgemeinen Fehlergleichung: 
ax f by f cz -J-.. -J- 1 = v (165) 
vor. Sie lässt sich auch folgendermassen schreiben: 
(a'-f d a) (x'-f dx)-f(b'-f db)(y'-f dy)-f (c'-f dc)(z'f dz)-)-... +l = v (166) 
oder: 
a'x'+b'y'|c'z'+... +1 —v' , 
-f a' dx f b' dy -f c' dz -f... -f da x' f db y' f de z' f v' | (167) 
-f da dx f db dy f dc dz f ... = v ' 
Nun ist die erste Zeile dieser Geichung gleich Null, weil die Werte 
x', y' . . . aus den Eehlergleichungen 
a/x'f b.'y'f c/z'f.. +li = v/ , 
a 2 ' x' -f b 2 ' y' -f c 2 / z' -f.. -f 1 2 — v 2 ' | .... (168) 
bestimmt worden sind. Da die dritte Zeile von Gl. (167) aus demselben 
Grunde wie früher wieder verschwindet, so bleibt nur mehr: 
a' dx -j- b' dy -f c' dz -f .. -f da x' f db y' f de z' -f.. -fv':=v (169)