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Bezeichnet man den Excess des sphärischen Dreieckes ABC mit 
E so ist, wie leicht zu sehen 
E = e„ + — e, mithin 
a —(— b 4— c = A —}— B -J~ C — E 
wie es auch ganz natürlich ist, indem die drei Winkel des ebenen 
Dreieckes 180° ausmachen müssen. 
Fällt der Punkt C auf die andere Seite vom Bogen A B oder von 
seiner Verlängerung, wo dann auch die Darstellung c dieses Punktes auf 
die andere Seite von a b fallen muss: so bleiben die Gleichungen «), ß) 
und 7) dieselben, nur werden die unteren von den oberen abgezogen, 
man erhält als Dreieckswinkel 
\ a — A — */s 4 4~ Vs e " 
50){b = B- V, 4 4- V 2 4„ 
l c = c 4- Vs e n + Vs £ »> 
und wenn addirt wird: 
a + J + c = 44-5+C , 4-i„i- e„, — t, 
Da auch in diesem Falle E = e , — s„ — e„, ist, so hat man ebenso wie früher 
a + b + c^A + B+ C—E 
Fällt der Punkt C mithin auch c mit Q zusammen, so wird 
¡t„ = 0 und = 0 folglich 
a — A — Vs e t 
b — B — Vs 
c = C -= Q 
da hier = E wird, so ergibt sich durch Addition der drei Winkel 
ebenfalls 
ci 4- b 4~ c === A 4~ B 4" C — E 
Die Gleichungen 49) und 50) geben die Mittel in die Hand, die 
gemessenen sphärischen Dreieckswinkel in die tangirende Ebene zu pro- 
jiciren; diess ist dann möglich, wenn die sphärischen Excesse e, s„ und s,„ 
bekannt sind. 
§.89. Zur Kenntniss des sphärischen Excesses gelangt man durch 
die Formel: 
A 4-B4- C — 180°=E=2 tang V 2 «tang V 2 ßsin C—tang 21 / 2 v.. fang 2 '/, ßsin2 C4- 
2 / 3 tang 3 V2 24 tang 3 1 / 2 ß sin 3 C —