Wenn sich der Punkt innerhalb des Polygons befindet, so ist diess auf 
den ersten Blick klar, und bedarf weiter keiner Erklärung. 
Liegt er aber ausserhalb des Polygons, so denke man sich den 
selben nach einander mit den Punkten А, В, C, D ... . verbunden, 
und die Dreiecke nach einem bestimmten Gesetze benannt. Z. В. M А В, 
Ж В С, Ж С В .... so, dass man beim nächstfolgenden Dreiecke immer 
denjenigen Buchtaben nach Ж setzt, der beim vorhergehenden der letzte 
war; man wird bei dem Kundgange um das Polygon bemerken, dass nicht 
alle Dreiecke von der angenommenen Richtung, welche die zwei ersten 
Buchstaben, z. В. Ж А, Ж В, Ж С ... . anzeigen, auf eine und dieselbe 
Seite fallen, sondern dass einige rechts, andere links von dieser Rich 
tung zu liegen kommen. 
Diese Wechselung der Lage findet bei den an dem Punkte Ж näher 
gelegenen Dreiecken statt; diese letzteren sind also zur Summirung nega 
tiv zu nehmen. 
Führt man in diesem Sinne die Bezeichnung der Dreiecke ein, so 
dass also irgend ein Dreieck ЖАВ — — Ж В A oder Ж А В + 
Ж В А — О werde, so kann man allgemein sagen: 
MAB + MBC + M.CD + — А В C D 
Diese Theorie wird auch in der Praxis bei Berechnung der Flächen 
mit dem Polarplanimeter bestätiget. 
Liegt daher der Punkt Ж ausserhalb des Dreieckes in dem Raume 
an der Seite А В, so ist in der Gleichung: 
M В С + Ж С А + MA В = А В С 
das Dreieck ЖАВ negativ, weil es von der Richtung Ж A nach links 
fällt, während die Dreiecke Ж В C von Ж В und Ж С А von Ж С 
nach rechts fallen. 
In dem erwähnten Falle ist dann 
M А В 
А В С ~—Я* zu se ^ zen< 
Auf ähnliche Art ist lei ht auszumitteln, dass, wenn der Punkt Ж 
ausserhalb des Dreieckes ABC und in den über A hinaus durch Ver 
längerung von В A und CA entstandenen Raum fällt, ЖВС positiv,