34 CHAPITRE DEUXIÈME. 
19. Maintenant il sera facile de concevoir le parti que Lagrange 
a pu tirer de ces propriétés. 
Soit f[x) — o une équation dans laquelle les racines sont sé 
parées; nous considérerons seulement les racines positives, car, 
pour trouver les racines négatives, il suffira de changer x en — x 
et de calculer les racines positives de la transformée qui seront les 
racines négatives de la proposée. 
Il faut maintenant faire en sorte que les deux nombres qui com 
prennent la racine cherchée soient deux nombres entiers qui diffè 
rent entre eux d'une unité. Supposons, pour fixer les idées, qu’ils 
diffèrent d’un centième, et que la racine x. soit comprise, par 
exemple, entre 
3,25 et #2—3,24. 
Posons dans l’équation donnée 
x — - , d ou 2 — 100 x, 
100 
nous aurons une équation transformée f(z) = o dans laquelle la 
valeur correspondante à celle de x que l’on cherche sera comprise 
entre 
2, = 325 et z 2 =.2>2^, 
et ces deux limites satisferont aux conditions posées, tandis que 
3 et 4 pourraient contenir d’autres racines, outre celle que l’on 
considère. 
Nous pouvons donc admettre dorénavant que la racine est seule 
comprise entre a et a 4- 1, le nombre a étant entier. Posons donc 
x — a - : on obtiendra une équation tranformée en y qui n’aura 
y 
qu'une seule racine réelle et positive, puisque l’équation proposée 
n’avait qu’une seule racine entre a et a H- 1. On cherchera les deux 
nombres entiers b et 6 + 1 qui comprennent cette valeur de y, 
et posant y — b -j- - 5 on obtiendra une équation en z sur 
laquelle on répétera les raisonnements précédents, ce qui don-