Abhandlung über eine besondere Klasse 
algebraisch auflösbarer Gleichungen. 
(Crelle’s Journal f. d. r. u. a. Mathematik, Bd. 4, 1829. Oeuvres 
complètes, 1881, Bd. I S. 478). 
Obwohl die algebraische Auflösung der Gleichungen im Allgemeinen 
nicht möglich ist, giebt es doch besondere Gleichungen aller Grade, 
welche eine solche Auflösung zulassen. Dieser Art sind zum 
Beispiel die Gleichungen von der Form x n — 1 = 0. Die Auflösung dieser 
Gleichungen gründet sich auf gewisse Beziehungen, welche zwischen den 
Wurzeln stattfinden. Ich habe versucht, diese Methode zu verallgemeinern, 
indem ich annahm, dass zwei Wurzeln einer gegebenen Gleichung derart 
mit einander verbunden seien, dass man sie rational durch einander aus- 
drücken könne, und ich bin zu dem Resultat gekommen, dass eine solche 
Gleichung stets mit Hülfe einer gewissen Anzahl von Gleichungen niedrigeren 
Grades gelöst werden kann. Es giebt sogar Fälle, in denen man die 
gegebene Gleichung selbst algebraisch auflösen kann. Dies istz.B. allemal der 
Fall, wenn die gegebene Gleichung irreductibel und ihr Grad eine Primzahl 
ist. Dasselbe gilt auch, wenn sämtliche Wurzeln einer Gleichung aus 
gedrückt werden können durch 
x, Ihr, fi 2 #, №x, ..., fi" -1 #, wo tl n ;r = x, 
falls ihr eine rationale Function von x ist und fi 2 #, fi 3 #, ... Functionen von 
derselben Form wie ihr sind bei zweimaliger, dreimaliger, ... Wiederholung 
dieser Operation. 
cJi 1 
Die Gleichung ——-- = 0, wo n eine Primzahl ist, befindet sich in 
diesem Falle; denn bezeichnet man mit a eine primitive Wurzel für den 
Modul n, so kann man, wie bekannt, die n — 1 Wurzeln ausdrücken durch 
a a 2 a 3 2 tx n 1 
X, X , X , X , .. ., X , WO X = X, 
d. h., wenn man x a = fix setzt, durch 
£T, ihr, O 2 *, fi 3 #, ..., r~ 2 x, wo x = x.