Algebraisch auflösbare Gleichungen. 
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Ich behaupte jetzt, dass diese Gleichung noch stattfinden wird, wenn 
man an Stelle von x x irgend eine andere Wurzel der gegebenen Gleichung 
setzt. Man hat in der Tliat den folgenden Satz*): 
Satz I. Wenn eine der Wurzeln einer irreductiblen Gleichung 
9(#) = 0 einer andern Gleichung f(x) = 0 genügt, wo /(#) eine 
rationale Function von x und der in y(x) enthaltenen bekannten 
Grössen ist, so wird diese Gleichung auch noch befriedigt 
werden, wenn man für x eine beliebige Wurzel der Gleichung 
<P(¿p) = 0 setzt. 
Die linke Seite der Gleichung (3) ist nun eine rationale Function von #, 
mithin hat man: 
4) 9 (ft#) = 0 wenn 9 (#) = 0 
ist, d. h. wenn x eine Wurzel der Gleichung 9(#) = 0 ist, so ist es die 
Grösse ft# ebenfalls. 
Dem Vorhergehenden zufolge ist also jetzt 1}#! eine Wurzel der Gleichung 
cp(x) = 0, mithin ist auch ftft#j eine solche; ebenso werden ftftft#j, ... 
Wurzeln sein, wenn man die durch ft bezeichnete Operation beliebig oft 
wiederholt. 
Ist zur Abkürzung 
ftft#! = ft 2 #!, ft ft 2 #! = ft 3 #!, Oft 3 #! = ft 4 #!, . . . , 
so hat man eine Reihe von Grössen 
5) #i, ft#j, ft 2 #i, ft 3 #!, ft 4 #j, ..., 
welche sämtlich Wurzeln der Gleichung <p(#) = 0 sind. Die Reihe (5) enthält 
unendlich viele Glieder; da aber die Gleichung 9(#) = 0 nur eine endliche 
Anzahl von verschiedenen Wurzeln hat, so müssen mehrere Grössen der 
Reihe (5) einander gleich sein. 
*) Man beweist diesen Satz leicht folgendermassen. 
M 
Welches auch die rationale Function f(x) sein möge, man kann immer f(x) — — 
setzen, wo M und N ganze Functionen von x sind, die keinen gemeinsamen Factor 
besitzen; eine ganze Function von x aber kann stets auf die Form P + Qcp(.-r) gebracht 
werden, wo P und Q ganze Functionen sind, derart, dass der Grad von P kleiner als 
derjenige der Function cp(#) ist. Setzt man also Af=P+Qcp(#), so hat man 
^ ^' einac ^ Xl c ^ e Wurzel von cp(#) = 0, welche gleichzeitig der 
Gleichung f(x) = 0 genügt, so wird #, auch eine Wurzel der Gleichung P=0 sein. 
Wenn nun P nicht Null wäre für einen beliebigen Wert von x, so würde diese 
Gleichung #, geben als Wurzel einer Gleichung niedrigeren Grades als der von 
9 (x) = 0, was gegen die Voraussetzung ist. Mithin ist P= 0 und somit f(x) = 9(j) 
woraus man sieht, dass f(x) gleichzeitig mit 9 (.r) gleich Null ist, w. z. b. rv.