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Vorrede. 
(im Programm des Friedrich-Werder’schen Gymnasiums zu 
Berlin, 1872) eine ausführliche Darstellung gegeben. Nach 
ihm seien hier nur erwähnt die Arbeiten von E. Heine 
(Journal für die r. u. a. Mathematik Bd. 74, pag. 172)*), von 
Herrn Dedekind (Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braun 
schweig 1872, und: Was sind und was sollen die Zahlen? 
ebendas. 1888), sowie die Abhandlung von Herrn Kroneeker 
über den Zahlbegriff (im Journal f. d. r. u. a. M. 101. Bd.). 
Aber auch in der zweitgenannten Richtung hat die neueste 
Zeit einige epochemachende Untersuchungen und Ergebnisse 
zu verzeichnen. Nachdem es bereits Liouville gelungen war, 
zu beweisen, dass es Irrationellen giebt, welche auf keine 
Weise als Wurzeln algebraischer Gleichungen aufgefasst werden 
können, war es in hohem Grade interessant zu entscheiden, 
ob die überall in der Analysis auftretenden beiden, durch e 
und it bezeichneten Zahlen zu diesen nicht algebraischen Irra 
tionalzahlen zu rechnen sind. Es ist das Verdienst des Herrn 
Hermite, auf sehr genialem Wege nachgewiesen zu haben, 
dass die Zahl e eine transcendente Zahl ist; und weiter bauend 
auf den von ihm gegebenen Grundlagen erreichte Herr Linde 
mann den gleichen Nachweis auch für die Ludolph’sche Zahl 
und bewies damit zugleich, dass die Quadratur des Kreises eine 
Unmöglichkeit sei. Da hiermit die Untersuchungen über die 
Natur der Irrationalzahlen in einem der interessantesten Punkte 
zu einem gewissen Abschlüsse gelaugt sind, hat der Verfasser 
dieses Buches es für zeitgemäss und erwünscht erachtet, die 
wichtigsten Untersuchungen, welche bisher in der angegebenen 
Richtung geführt worden sind, für einen grösseren mathe 
matischen Leserkreis im Zusammenhänge darzustellen, indem 
er eine Vorlesung, die er zu wiederholten Malen über diesen 
Gegenstand gehalten, weiter ausführte; wobei er, um den 
Inhalt des Buches möglichst weiten Kreisen zugänglich zu 
*) Vgl. dazu G. Cantor’s Abh. in Math. Annalen Bd. 5 pag. 123, 
oder seine Mannigfaltigkeitslehre, Leipz. 1883, pag. 21. Den Standpunkt 
dieser Arbeiten habe ich im wesentlichen zu dem meinigen gemacht 
trotz der Kritik, welche die Aufsätze von Illigens, Math. Ann. Bd. 33 
u. 35 an ihm üben; die Begründung dafür muss ich für eine andere 
Stellt mir Vorbehalten.