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Siebente Vorlesung 
Gleichung mit rationalen Coefficienten, so müsste eine Be 
ziehung stattfinden von folgender Form: 
(32) e’o • N 0 + e* ■ N t H b • N n = 0, 
in welcher die N ganze, von Null verschiedene Zahlen, die 
Exponenten z 0 , z x , Z 2 , .. . z n aber positive ganze Zahlen (Null 
einschliesslich) wären. Nun ergiebt sich aber, indem diese 
ganzen Zahlen jetzt zu Wurzeln der Gleichung f(z) = 0 ge 
wählt werden, aus der ersten der Gleichungen (30), wenn i 
die Werthe 1, 2, 3, ... n erhält, 
0 
£l, m 
= r-. 
a 0 — e 
■*1 _ 
«X 
0 
^2, m 
= e“* 0 • 
a 0 — e~ 
Z 1 _ 
a 2 
0 
£n,m 
= e~ io - 
o« 
1 
"1 ■ 
z n , 
■ &n 
und, wenn diese Gleichungen der Reihe nach mit e Zi N t , 
e z *N 2 , . . . e l nN n multiplicirt und dann addirt werden, die nach 
stehende Gleichung: 
• £l,m • N l -j- eN ■ s\ m • N 2 -f- • ' • 4" e " • S n ,m • N n 
= e~ z °cc 0 (e Zi N x -f- e Zi N 2 -f- • • • -f- e z nN n ) 
— (o^ N x -j- a 2 N 2 -j- • • • -j- a n N n ). 
Diese nimmt aber unter der gemachten Voraussetzung, dass 
die Gleichung (32) besteht, die Form an: 
«o^o + cc 1 N 1 -f- cc 2 N 2 -}-•••-{- cc n N n 
= — (/• el„N t + + ■ • • + . 
Hier steht links eine ganze Zahl. Da man andererseits, dem 
bekannten Mittelwerthsatze der Theorie der bestimmten Inte 
grale gemäss, 
(33) 
0 
£/, 1 
1.2.3 .. . (m — 1) 
I 
m 
di 
i № 
1.2.3 ... (m — 1) I — Z, 
l 
dz 
= . f® m ~ - • (<r*° - e 
§ — 2 0 1.2.8 :. . (l» — 1) v 
gleich