- 
— ------- 
Die Ludolph’sche Zahl n. 99 
letzteren Umstande folgt nach bekanntem Dreieckssatze leiclit 
folgender 
Satz: Der Modulus einer Summe zweier complexer 
Grössen ist niemals grösser als die Summe der Mo 
duln der complexen Grössen selbst; ein Satz, der auf 
beliebig viel Summanden sofort erweitert werden kann. 
Da jeder complexen Grösse ein Punkt der Ebene ent 
spricht, wird einer veränderlichen complexen Grösse ein 
beweglicher Punkt entsprechen, und einer stetigen Reihe 
complexer Werthe eine zusammenhängende Curve, welche der 
entsprechende Punkt beschreibt, und welche der Weg der 
complexen Veränderlichen genannt wird; und umgekehrt ent 
spricht jedem beliebigen Wege zwischen zwei Punkten P, P' 
eine stetige Werthreihe der complexen Veränderlichen. Da 
es unendlich viel verschiedene solche Wege giebt, ist’s auch 
einer complexen Veränderlichen möglich, auf unendlich 
mannigfaltige Weise stetig von einem bestimmten Werthe zu 
einem zweiten überzugehen. 
Eine complexe Grösse w = u + vi, welche für jeden 
Werth einer complexen Veränderlichen z — x -f- yi einen 
gleichfalls bestimmten Werth hat und sich also im allgemeinen 
gleichzeitig mit z verändert, heisst — nach Riemann — eine 
Funktion von z, w — f(z), wenn sie der partiellen Differenzial 
gleichung = genügt; sie heisst stetig längs eines be 
stimmten Weges der Veränderlichen z, wenn der sie dar 
stellende Punkt, während z jenen Weg beschreibt, gleichfalls 
eine stetig zusammenhängende Curve, d. i. einen Weg durchläuft. 
Man denke sich nun zwei complexe Werthe £, £' und 
zwischen ihnen einen beliebig gegebenen Weg, dargestellt bez. 
durch die Punkte P, P' und die Curve PCP'. Zwischen den 
Endpunkten denke man beliebig viel, beliebig nahe Zwischen 
punkte z l , z 2 , ... z n eingeschaltet und bezeichne die ihnen 
entsprechenden complexen Werthe gleichfalls durch z l} z 2) ... z n . 
Mit £ 0 , £ 2 , . . . £ n bezeichne man Punkte innerhalb der 
einzelnen Abschnitte Pz 1} z 1 z 2} z 2 z 3 , . . . z n P' der Curve, bez. 
die ihnen entsprechenden complexen Werthe, und mit f(z) 
irgend eine Funktion von z. Die folgende Summe: 
rj *