Vorrede. 
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machen, das Mass der Vorkenntnisse thunlichst zu beschränken 
bemüht gewesen ist. 
Nachdem dabei die Irrationalzahlen, im wesentlichen nach 
Heiners Gesichtspunkten, begrifflich festgestellt sind, wobei 
eine grössere Anschaulichkeit erreicht sein dürfte durch Ein 
führung des Begriffes „zweier gegen einander convergirender 
Werthreihen“, werden einige Fundamentalsätze von algebra 
ischen Zahlen hergeleitet, welche auf ihre allgemeinste De 
finition sich beziehen. Nach dem Grade der Gleichung, durch 
welche sie bestimmt sind, können sie unterschieden werden in 
quadratische, kubische Irrationellen u. s. w., und es fragt sich, 
welche rein arithmetischen Kennzeichen dieser algebraischen 
Eintheilung adäquat sind. Dasjenige für die quadratischen 
Irrationellen ist seit längerer Zeit schon bekannt und besteht 
darin, dass sie und nur sie allein in periodische Kettenbrüche 
entwickelbar sind; für die Irrationellen höheren Grades fehlt 
jedoch noch jedes ähnliche Kennzeichen, und nur ein erster 
Schritt, zu einem solchen zu gelangen, darf in einer Arbeit 
von Jacobi über Kettenbruchalgorithmen erblickt werden. 
Im Folgenden wird nun zunächst jenes arithmetische Kenn 
zeichen der quadratischen Irrationellen nach Lagrange’schen 
Gesichtspunkten hergeleitet, nachdem zuvor die elementare 
Grundlage der Herleitung, die Theorie der Kettenbrüche, zur 
Vorbereitung auf Jacobi’s Arbeit, mittels eines Algorithmus 
entwickelt worden, von welchem der Jacobi’sche nur eine 
einfache Verallgemeinerung ist. Dann folgt Liouville’s 
Nachweis von dem Vorhandensein nicht algebraischer Irratio- 
nellen und eine kurze Uebersicht der Hauptarbeiten, durch 
welche Lambert, Legendre und Liouville über die Natur 
der Zahlen e und it Licht zu verbreiten gesucht haben. Aus 
führlich stellen wir darauf die Fier mite 7 sehen Arbeiten über 
die Zahl e, wie sie sich finden im Journal für die r. u. a. 
Mathematik Bd. 76 pag. 303 und 342 und in der Schrift Sur 
la fonction exponentielle, Paris 1874, in ihrem Zusammen 
hänge dar, und geben dann einen Theil der Lindemann- 
schen Untersuchung über die Ludolph’sche Zahl, soweit es 
erforderlich ist, um von ihrem Gang und Charakter eine ge 
nügende Vorstellung zu bilden; statt sie im Ganzen zu ent-