«0^0 + (°U + ft 2 + ' " + «r)N-! + ( a r + l + ••• + CCv + q)^2 
-f- • • • -f- a n N r — 0 
ßo N 0 + (ßl + ßs 4" * - * + ßr)N t + (ßr +1 + • * • + ßr + o)N 2 
-f- ■ ‘' ~b ßn N r = 0 
X 0 N 0 "f (A t + X 2 -j- • • • + A r )N t -1- (A r +i + • • ■ + A,..^,)N 2 
—f - ■ * * —1~ A n N r = 0, 
welche doch nur stattfinden können, da die Ni nicht sämrnt- 
lich Null sein sollten, wenn die aus den Grössen a i} ß h y i} 
... Xi gebildete Determinante verschwindet. Dies kann aber 
nur geschehen, wie gelegentlich der Zahl e gezeigt ist, wenn 
die Discriminante der Gleichung mit den Wurzeln z 2 ,... z u 
verschwindet, und geschieht also nicht, wenn diese Grössen, 
wie hier vorausgesetzt werden durfte, von einander ver 
schieden sind. 
Hiermit ist die Unmöglichkeit der Beziehung (6) 
unter der am Anfänge von No. 4 gemachten Annahme 
erwiesen. 
Wir müssten nunmehr auch den Fall erledigen, wo die 
algebraisch verschiedenen Werthe der Wurzelfunktionen 
ti + tif §i + £2 + S 3 » • • •> welche in der Gleichung (6) als 
Exponenten sich finden, nicht sämmtlich auch numerisch 
ungleich sind. Dann erst wäre der Beweis für die Trans- 
cendenz der Zahl n vollständig erbracht. Dieser Theil der 
L in dem an n’sehen Untersuchung bietet nun aber gewisse 
Schwierigkeiten dar, insofern er eine weitere Bekanntschaft 
mit dem Verhalten der Wurzelfunktionen bei Vertauschung 
der Wurzeln erfordert, als hier für bekannt angenommen 
werden soll; deshalb, und weil durch das bereits Gesagte die 
Art und Weise jener Untersuchung genügend gekennzeichnet 
worden ist, ziehe ich es vor, den zu leistenden Beweis auf 
einem einfacheren Wege zu erbringen, nämlich statt der 
Lin demann’sehen Darstellung noch in Kürze den wesent 
lichsten Inhalt der Abhandlung mitzutheilen, in welcher 
Weierstrass dieselbe zu vereinfachen gesucht und gelehrt hat.