Charve*), hat in einer ausführlichen Arbeit über ternäre
quadratische Formen, welcher er diejenige Auffassung re-
ducirter Formen zu Grunde legt, die man Selling**) ver
dankt, die H ermite’sehen Gedanken entwickelt und bestätigt,
indem er die arithmetische Operation der Reduktion einer
Form zugleich geometrisch veranschaulicht; theils theoretisch,
theils an einer Reihe numerischer Beispiele findet er eine
Periodicität in der Reihe der Substitutionen, welche die re-
ducirten Formen aus der ursprünglich gegebenen Form herzu
leiten geeignet sind.
Andererseits hat Jacobi auf dem vorliegenden un
erforschten Gebiete einen wichtigen Schritt voran gethan, der
gewiss die richtige Fährte verfolgt. In einer Abhandlung,
welche erst nach seinem Tode veröffentlicht worden ist***),
entwickelt er einen Algorithmus, der als eine sehr nahe
liegende Verallgemeinerung desjenigen anzusehen ist, auf
welchen wir in der 3. und 4. Vorlesung die Kettenbrüche und
ihre Periodicität im Falle der quadratischen Irrationellen be
gründet haben und welchen er deshalb auch einen Kettenbruch
algorithmus nennt; und indem er denselben zur Anwendung
bringt auf die Kubikwurzel aus einer ganzen Zahl, findet er
an verschiedenen numerischen Beispielen die Vermuthung be
stätigt, dass der Algorithmus periodisch sei. Die sehr
interessante Frage, ob diese Eigenschaft der Kubik
wurzel allgemein und derselben bez. den Irrationellen
dritten Grades charakteristisch sei, blieb leider einst
weilen ungelöst; denn, obwohl sie nach den Ergebnissen
von Hermite und Charve unzweifelhaft bejahend zu beant
worten sein dürfte, können doch die genannten Untersuchungen
nicht als entscheidend dafür gelten, solange zwischen ihnen
und dem Kettenbruchalgorithmus nicht ein fester Zusammen
hang nachgewiesen worden ist.
*) Thèses près, à la faculté des Sciences de Paris: de la réduction
des formes quadratiques ternaires positives et de leur application aux
irrationnelles du troisième degré.
**) Journal f. d. r. u. a. M. Bd. 77.
***) Jacobi, allgem. Theorie der kettenbruchähnlichen Algorithmen,
in welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird; herausg.
von Heine, Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 69 pag. 29.
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