Ueber die kubischen Irrationellen. 
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Aus diesen ergiebt sich aber sr*_}- A == z 2 • co k , und, weil 
== — vorausgesetzt ist, 4 k + h = z 3 • Zt k , d. h. 
U k + h U k 
z 2 c5 k • u 2 + g5*-|-a • a -f- STa+a = ¿ A ^k • -f- # 3 • « “h ? 
woraus zuerst 0=1, also nach (56) 
+ A ^jA ? + A ^Jk j ^i + A ^jA j ^?A j 
ferner 
ö?A + A == S>A , ttk + h — ®>A 
oder 
£a ■ tk+h — £a • £a+a = §a' • Sa — Ia • Sa 
— rj k • Sa+ä + ^a • Sa+a = — tfk * Sa “h ^a • Sa , 
also 
Sa+a Sa > Sa 4" a Sa > 
und endlich, wie behauptet worden ist, 
m k+h = m k , (p k +h(a) = cp k (cc), ip k+h (cc) = ipk(u) 
gefunden wird. 
7. Wenn nun aber die Gleichungen (53) oder (54) 
bestehen, so wird die Reihe der Grössensysteme (51) 
periodisch, indem von dem Systeme 
0>A, qp*(a), 4>k(u) 
an eine Periode von h Gliedern unendlich oft sich 
wiederholen muss. Denn aus dem Bestehen der Glei 
chungen (53) und (54) folgt zunächst 
lk+h — 4 J nik+h = WiA; 
sodann aber nach den Formeln (44), (45) und (46) auch 
g>a4-a4-i — cük-\-\y 9>a4-ä4-i(«) — <Pa4-i(«), ^A-f-A4-i(®0 ^A4-i(®0 
u. s. f. 
Diese Bemerkung, mit der vorigen verbunden, liefert den 
Satz: Wenn von den beiden Reihen von Grössen 
systemen (51) und (52) die eine periodisch ist, so hat 
die andere genau dieselbe Periode. 
Die Periodicität der erstem Reihe tritt ein, so 
bald die Grössen (51) für ein unendlich wachsendes i 
endlich bleiben, und umgekehrt. 
Das letztere ist offenbar. Um auch das erstere zu zeigen, 
nehmen wir an, es sei für jedes i 
io*