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Erste Vorlesung 
wir zu dem Schlüsse: Wenn D nicht das Quadrat einer 
ganzen Zahl ist, so giebt es keine rationale Zahl, 
welche die Gleichung (1) befriedigt; im entgegen 
gesetzten Falle ist die rationale Wurzel eine ganz 
zahlige, nämlich, wenn D — n 2 ist, x — 4~ n. 
Wir haben uns zum Beweise dieses bekannten Elementar 
satzes auf ein arithmetisches Princip betreffend die Theilbar- 
keit der ganzen Zahlen gestützt. Man kann aber dasselbe 
auch ohne dieses Princip nachweisen*), wenn man sich eines 
Ausdruckes bedient, den wir hier sogleich anführen wollen, 
da wir auch später von ihm wieder Gebrauch zu machen 
haben. Dies ist der Ausdruck 
x 2 — Dy 2 , 
eine sogenannte quadratische Form. Derselbe hat die funda 
mentale Eigenschaft, dass er, mit einem Ausdrucke gleicher 
Gestalt multiplicirt, sich wiederherstellt, d. h. wieder in die 
gleiche Gestalt gebracht werden kann. Es besteht nämlich 
folgende Identität: 
(2) (x 2 — Dy 2 ) - (x 2 —Dy' 2 ) = (xx'— Dyy') 2 — D ■ (ccy' — x'y) 2 . 
Angenommen nun, D sei keine Quadratzahl, es existire 
aber gleichwohl eine rationale Zahl, deren Quadrat gleich D 
ist, so gäbe es auch zwei positive ganze Zahlen p, q, für 
welche 
(3) p 2 — Dq 2 = 0 
ist; unter allen solchen Systemen sei p, q dasjenige, bei 
welchem q am kleinsten ist. Nun kann man eine positive 
ganze Zahl k so wählen, dass 
k 2 <D<{k + 1 ) 2 , 
folglich 
(4) kq<p <{k -f- 1 )q 
ist, und demnach die Zahlen 
p — kq 
p 2 — kpq = Dq 2 — kpq, 
endlich auch 
*) Dedekiud, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunechweig 1872, 
pag. 20.