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Erste Vorlesung 
Gleichung x 2 = 13 aufgefasst werden. Wir erkennen hieraus, 
dass die Annahme einer Zahl, welche der Gleichung 
x 2 = 13 genügt, gleichbedeutend ist mit der andern An 
nahme, dass den beiden gegen einander convergirenden 
Reihen (6) eine Zahl zugehört, die sie zu gemeinsamem 
Grenzwerthe haben. 
4. Wie steht es nun mit der Berechtigung dieser 
letzteren Auffassung? 
Zuerst wollen wir daran erinnern, dass es ganz gang 
und gäbe ist, rationale Zahlen als solche Grenzwerthe auf 
zufassen, denn wenn wir z. B. die Zahl •§- durch den unend 
lichen Decimalbruch 0,33333 • • • ersetzen, so heisst das, genau 
besehen, nichts anderes, als dass wir sie auffassen als den 
gemeinsamen Grenzwerth der beiden gegen einander con 
vergirenden Zahlenreihen: 
0; 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; • • • ansteigend, 
1; 0,4; 0,34; 0,334; 0,3334; • • • absteigend 
zwischen deren sich entsprechenden Gliedern stets enthalten 
bleibt. In gleicher Weise kann man jede rationale Zahl, und 
zwar auf mannigfache Weise, als gemeinsamen Grenzwerth 
zweier gegen einander convergirenden Zahlenreihen auffassen, 
z. B. die Null als Grenzwerth der beiden Reihen: 
jL J_ 1 
2m 7 gj» 7 7 
1 i 1 
2tn 7 7 ^rn 7 7 
wenn m positiv ist, und je nachdem man für m diesen oder 
jenen positiven Werth wählt, würde man verschiedene solche 
Bestimmungsweisen erhalten. 
Zweitens ist uns aber die in Frage gestellte Auffassung 
überhaupt ganz geläufig. Nehmen wir irgend einen un 
endlichen Decimalbruch, z. B. denjenigen, bei welchem die 
ersten Decimalziffern die Zahlen 1 bis 9 sind, auf welche sie 
dann jedesmal zweifach, dann dreifach wiederholt folgen u. s. w., 
also: 
0,123456789112233445566778899111222 ■ • •