Definition der Irrationalzahlen. 
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Niemand von uns nimmt Anstand, unter demselben eine ganz 
bestimmte Zahl zu verstehen, obwohl wir nicht wissen, viel 
mehr ernstlich daran zweifeln dürfen, ob sie durch einen ra 
tionalen Werth ausdrückbar sein mag; wir haben uns eben 
daran gewöhnt, mit solchen unendlichen Brüchen den Sinn 
einer bestimmten Zahl zu verknüpfen. Im Grunde ist nun 
aber dieser Sinn des Decimalbruches kein anderer als der, der 
gemeinsame Grenzwerth für die folgenden zwei gegen ein 
ander convergirenden Zahlenreihen zu sein: 
0 1 
0,1 0,2 
0,12 0,13 
0,123 0,124 
und sonach verbinden wir also aus Gewohnheit mit diesen 
beiden Zahlenreihen unbedenklich die Vorstellung einer be 
stimmten Zahl als ihres gemeinsamen Grenzwerthes. Nun 
betrachten wir irgend zwei gegen einander conver- 
girende Zahlenreihen 
von denen die erstere die ansteigende, die zweite die absteigende 
sein mag, d. h. zwei Reihen, in denen für jeden Werth 
des Index i die Bedingungen erfüllt sind: 
h > b i+ 1 > a i+ 1 > Oi 
und die Differenz bi — mit wachsendem Index un 
endlich klein wird. Offenbar wäre es nur eine Verallge 
meinerung obiger Auffassung, wenn wir auch von diesen zwei 
gegen einander convergirenden Werthreihen aussagten, dass sie 
mit einander eine Zahl als ihren gemeinsamen Grenzwerth be 
stimmen. Indessen dürfen wir nicht übersehen, dass solche 
Auffassung zweierlei in sich schliesst: 1) die Annahme, dass 
beide Reihen thatsächlich eine gemeinsame Grenze haben, 
d. h. dass etwas existirt, was als gemeinsame Grenze beider 
vorgestellt werden kann, und 2). dass dies Existirende als eine 
Zahl betrachtet werden darf. Der Strenge der Arithmetik, 
welche von allen Theilen der Mathematik als die „reinste“