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Erste Vorlesung 
nur der ist, gewisse Rechnungen allgemein ausführbar zu 
machen, die mit den Zahlen engeren Sinnes allein nicht mög 
lich sind, so darf das wesentliche Merkmal der Zahlen 
überhaupt darin gesetzt werden, dass sich mit ihnen 
rechnen lässt, d. h. dass zwei solche Elemente nach be 
stimmten Regeln wieder zu einem Elemente derselben Art 
verknüpft werden können. Die für die engere Gattung der 
rationalen Zahlen fundamentalen Regeln sind die vier Species, 
die Addition, Subtraction, Multiplication und Division, die bei 
den rationalen Zahlen in der That (wenigstens nach Ausschluss 
der Null, welche nur uneigentlich eine Zahl ist) stets wieder 
eine rationale Zahl liefern. 
Wenn wir also jetzt den allgemeineren Zahlenbegriff, wie 
oben, festsetzen, so müssen wir, um das Definirte wirklich als 
Zahl bezeichnen zu dürfen, Regeln angeben können, wie zwei 
solche Zahlen mit einander zu einer dritten verknüpft werden 
können, die als ihre Summe, Differenz, Produkt oder Quotient 
angesehen werden darf; damit sie das darf, wird aber nur 
erforderlich sein, dass, so oft die verknüpften Zahlen rational 
sind, auch wirklich ihre richtige Summe u. s. w. nach jenen 
Regeln entsteht; denn die für die allgemeinere Gattung der 
Zahlen gütigen Regeln müssen selbstverständlich auch für die 
darin enthaltene besondere Art richtig bleiben. 
Wir werden uns bei dieser Betrachtung auf das für unseren 
Zweck, bei dem es uns nicht auf Vollständigkeit ankommt, 
Ausreichende beschränken, indem wir voraussetzen, dass die 
Zahlen beider gegen einander convergirenden Zahlenreihen 
sämmtlich positiv sind; die Zahl z wird dann auch als posi 
tiver Werth bezeichnet werden dürfen. 
Sei nun 
oder kürzer 
eine zweite durch die im Symbol enthaltenen zwei gegen ein 
ander convergirenden Zahlenreihen, von denen die obere die 
an-, die untere die absteigende sei, definirte positive Zahl, so