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Erste "Vorlesung 
und haben, um dies als zulässig zu erweisen, offenbar nur zu 
zeigen, dass die in Parenthesen gesetzten beiden Zahlreihen 
gegen einander convergirende sind*, dass die Definition dann 
auch für rationale z, £ giltig bleibt, ersieht man, wie bei den 
drei anderen Operationen, von selbst. Jene Convergenz aber 
erkennt man daraus, dass 
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erstens, weil bi > a { , ßi > (Xi also — > — ist, auch — >^- 
a i ßi ’ “i ßi 
ist; dass 
zweitens, weil bi+i < bi, «¿4-1 > also —< — ist, 
a i+1 a i 
b i + 1 6 f 
auch —— < —, die untere Reihe also eine absteigende ist; 
dass ebenso 
drittens, weil a i + 1 > a i} ß i+1 </3¿ also -»— > ■— ist, 
ßi+i Pi 
auch 
> , die obere Reihe also eine ansteigende ist; 
ßi+i 
und dass endlich 
viertens die Differenz zweier sich entsprechender Glieder 
\ ^ h ißi ~ a i“i 
a i ßi a ißi 
mit wachsendem Index i unendlich klein wird, indem der 
Nenner zuletzt stets grösser bleibt als y 2 , während der Zähler, 
wie schon früher gezeigt worden, gegen Null convergirt. 
8. Nachdem in solcher Weise die vie* Species für die 
Zahlen in erweitertem Sinne so festgestellt worden sind, dass 
sie auch giltig bleiben, d. h. mit den gewöhnlichen vier Spe 
cies Übereinkommen, so oft die verknüpften Elemente der 
Rechnung rational sind, dürfen wir nunmehr, dem Gesagten 
zufolge, das durch zwei gegen einander convergirende Zahlen 
reihen Definirte und als ihr gemeinsamer Grenzwerth Bezeich- 
nete in der That als eine Zahl auffassen. Aber, weil sie nur 
in besonderen Fällen rational ist, werden wir sie in den