Definition der Irrationalzahlen. 
15 
übrigen Fällen irrational nennen müssen; die rationalen und 
irrationalen Zahlen, welche wir so unter einem gemeinsamen 
Gesichtspunkte zusammengefasst haben, bilden mit einander 
das Gebiet aller reellen Zahlen. 
Eine vollständige Arithmetik der reellen Zahlen müsste 
nun noch zeigen, dass die fundamentalen Rechnungsregeln, 
welche für rationale Zahlen gelten, auch in Bestand bleiben 
für die allgemeinere Zahlengattung, welche sie als besondere 
Art umfasst; z. B., wenn für ein drittes Paar gegen einander 
convergirender Zahlenreihen der Grenzwerth g heisst, etwa 
wo also Cl,, 6; die sich entsprechenden Glieder der an- und 
absteigenden Reihe sind, so müsste der bekannte Multiplika 
tionssatz 
(ß dz £) • l= 
nachweisbar sein. Wir wollen diesen Nachweis z. B. für das 
untere Vorzeichen wirklich erbringen. Da 
o 
z — 
ist, liefert die Definition des Produktes zunächst 
(15) 
während 
0 - S) • b = 
also nach der Definition der Differenz 
(16) 
a A i — ßX 
bi bi 
ist. Aber die allgemeinen Glieder in dem Symbole der 
Formel (16) lassen sich folgendermassen schreiben: 
a i&i — ßi^i = (bX — aX) — hi(ßi — cci) — (hbi — a.-a,-) 
IX — ccidi = (ttidi — ßfdi) + a i(ßi — cci) -f (bX — didi), 
unterscheiden sich also von denen des Symbols in der Formel (15) 
um die Werth e