Ueber algebraische Zahlen. 
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sind, alle Gleichungen, wie die Gleichung (5) voriger Vor 
lesung zu lösen. Anscheinend nicht; denn z. B. kann man für 
die Gleichung 
x* + 1=0 
weder einen ganzen noch auch einen rationalen Werth x an 
geben, der sie aucli nur mit irgend einer Annäherung löste, 
sodass es also offenbar auch nicht gelingen kann, mittels 
solcher unendlich fortgesetzten Annäherung einen Grenzwerth 
zu bestimmen, der sie wirklich erfüllte. Die genannte 
Gleichung hat keine reelle Wurzel. Es ist nun aber 
das Verdienst von Gauss, zuerst den strengen Beweis erbracht 
zu haben, dass jede algebraische Gleichung von der 
Form 
(1) x m + A x x m ~ x -J- Ä 2 x m ~ 2 -j f- A m = 0 
wenigstens dann eine Lösung hat, wenn man ausser 
den reellen Zahlen auch die sogenannten complexen 
Zahlen zulässt, d. h. die Zahlen von der Form a -f- bi, 
worin i zur Abkürzung steht für das imaginäre Symbol ]/—1, 
während a, b reelle Werthe bedeuten. Diese letzteren lassen 
sich mit beliebiger Annäherung berechnen, besser gesagt, es 
lassen sich für a sowohl wie für b je zwei gegen einander 
convergirende Zahlenreihen ermitteln, wie sie im Vorigen be 
trachtet worden sind, als deren Grenzwerthe a, b anzusehen 
sind. Die mehr oder weniger zweckmässigen Mittel und Wege 
hierzu sind zuerst von Lagrange, Fourier und später von 
Vielen gesucht und angegeben worden und bilden den Gegen 
stand der sogenannten numerischen Auflösung der Gleichungen. 
Uns ist es nicht möglich, näher hier darauf einzugehen, es 
muss uns vielmehr genügen, dass die Gleichung (1) iö solcher 
Weise stets gelöst werden kann auf Grund der zuvor ge 
gebenen Definition der irrationalen Zahlen; und die somit 
wirklich vorhandenen Lösungen der Gleichungen von jener 
Form nennen wir, wie schon gesagt, algebraische Zahlen. 
Sie sind, wift rmsp.hwfir 7.11 spVipn crpnan dpnsplhpn allcrpmpinpn