22 Zweite Vorlesung
entstehen und demnach rational sind. Das giebt wieder
p Gleichungen von der Gestalt (5) und als Folgerung eine
Gleichung von der Form (6), welche eben zeigt, dass co eine
algebraische Zahl ist.
In dem besonderen Falle, wo a, ß, • • • y sämmtlich
ganze algebraische Zahlen sind, sind die Coefficienten A i}
Bi, • • • Ci sämmtlich ganze Zahlen; dem eben Gesagten
zufolge werden dann auch sämmtliche Coefficienten in den
Gleichungen (5) ganze Zahlen sein, und, wie im vorigen
Satze, dasselbe auch gelten von den Coefficienten der Glei
chung (6). Hieraus schliesst man den Zusatz: Die Wurzel
einer Gleichung, deren Coefficienten ganze algebra
ische Zahlen sind, ist selbst eine ganze algebraische
Zahl.
Aus dem zweiten der hier bewiesenen allgemeinen Sätze
geht hervor, dass eine Zahl durch die Bestimmung, Wurzel
einer Gleichung zu sein, deren Coefficienten algebraische
Zahlen sind, nicht allgemeiner definirt ist, als durch die Be
stimmung, einer Gleichung zu genügen mit rationalen Coeffi
cienten; diese letztere Definition umfasst vielmehr die erstere
und kann als die allgemeinste Definition algebra
ischer Zahlen angesehen werden.
4. Hier lässt sich nun sogleich die Frage aufwerfen, ob
die sämmtlichen möglichen Irrationalzahlen, wie sie in voriger
Vorlesung eingeführt worden sind und wir sie in dieser Vor
lesung nach Gauss noch durch die complexen Zahlen ergänzt
haben, unter diese Definition mit einbegriffen sind, oder ob
es, mit andern Worten, auch nichtalgebraische Zahlen
giebt, welche dann als transcendente Zahlen bezeichnet
werden könnten?
Aber eine andere Frage liegt fast noch näher. Bleiben
wir bei den algebraischen Zahlen, so können wir ihre Ge-
sammtheit eintheilen nach dem Grade der Gleichung, durch
welche sie definirt sind, und können so Irrationellen ver
schiedener Grade, quadratische, kubische, biquadra-
tische u. s. w. Irrationellen unterscheiden. Das ist aber
ein algebraischer Gesichtspunkt und Unterschied, und es
entsteht die Frage, welche rein arithmetischen Unterschiede
