Ueber algebraische Zahlen. 
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finden statt zwischen diesen Irrationellen verschiedener Grade? 
welches sind die arithmetischen Kennzeichen, durch 
welche die Irrationellen der verschiedenen Grade sich 
von einander scheiden und einzeln erkennbar sind? 
Die erste dieser beiden Fragen ist bereits von der Wissen 
schaft vollkommen befriedigend beantwortet und von Liou- 
ville der Nachweis geliefert worden, dass es in der That 
auch transcendente Zahlen giebt. In dieser Hinsicht 
forderten besonders zwei Zahlen die Untersuchung der Mathe 
matiker heraus, die beiden, gewöhnlich mit e und 7t bezeich 
nten Zahlen, d. i. die Basis des natürlichen Logarithmen- 
systemes und die Ludolph’sche Zahl, welche den Umfang eines 
Kreises vom Durchmesser 1 misst. In neuester Zeit erst ist 
es den Bemühungen von Hermite und von Lindemann ge 
lungen, diese höchst anziehende, wichtige Frage zu lösen: 
Die Zahlen e und jt sind transcendent. 
Sehr weit entfernt scheint man dagegen noch von der 
Lösung der zweiten Frage zu sein. Schon seit geraumer Zeit 
zwar kennt man ein arithmetisches Kennzeichen für die qua 
dratischen Irrationellen, auch haben andere Untersuchungen 
die Yermuthung eines ähnlichen Kennzeichens auch für Irra 
tionellen höheren Grades, wenigstens für die kubischen, sehr 
wahrscheinlich gemacht; aber noch hat man im Grunde ihre 
verschiedene Natur sehr wenig zu erforschen vermocht. Wenn 
wir dennoch mit der zweiten Frage beginnen, so geschieht es 
deshalb, weil jene Untersuchungen sich auf Rechnungen der 
höheren Analysis gründen und grössere Yorkenntnisse er 
fordern, während das, was über quadratische Irrationellen 
herzuleiten ist, nur auf sehr einfachen arithmetischen Betrach 
tungen beruht; die Besprechung der Irrationellen höherer 
Ordnung lassen wir bis zum Schlüsse der Yorlesungen. 
Das Kennzeichen quadratischer Irrationellen ist auch im 
Grunde so bekannt, dass wir Anstand nehmen müssten, es 
hier ausführlich herzuleiten, wenn diese Herleitung nicht an 
sich ein ausreichendes Interesse darböte. Sie steht aber, wie 
wohl zuerst Lagrange gezeigt hat*), im engsten Zusammen 
*) S. Additions zu Euler, elemens d’Algebre, traduits de l’alle- 
mand, avec des notes et des additions, Petersb. et Paris 1798, § II: me-