Die Kettenbrüche. 
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Zwei wesentlich verschiedene Fälle können sich darbieten: 
entweder ist das Verhältnis — rational oder nicht. Im 
«i 
ersteren Falle können wir es dem Verhältnisse zweier posi 
tiven ganzen Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, welche a, a l 
heissen mögen, gleichsetzen: 
(2) 
a a 
a i a 1 * 
Für die ganzen Zahlen a, a x muss die angedeutete Rechnung 
eine Reihe von Gleichungen ergehen von der Form: 
(3) 
« = Po a l + «2 
«i = 1h a 2 + «3 
, f%i — 1 Pi — 1 ) 
worin jetzt die Reste a k eine abnehmende Reihe ganzer 
Zahlen bilden, welche nothwendig abbricht, sodass ein Rest 
— wir haben angenommen «¿-pi — der Null gleich wird; der 
vorhergehende Rest a t - muss dann, da er offenbar gemeinsamer 
Theiler von cc, cc 1 ist, nach der Voraussetzung gleich 1 sein. 
Nun folgt aus (2) die Gleichheit der beiden Verhältnisse 
wird ihr gemeinsamer Werth q genannt und q- a k — a k 
gesetzt, so ergiebt sich aus (3) folgende neue Reihe von 
Gleichungen: 
(!') 
a 
= Po a i + «2 
a x 
. 
— Pl ü 2 + % 
ai- 
2 — Pi —2 ai _ 1 -j- tti 
. ai- 
i Pi — i ai 
welche für den vorliegenden Fall den Algorithmus (1) für die 
Zahlen a, a x darstellen, da p 0) p u p 2 , ■ ■ • die grössten Ganzen 
bedeuten, die in den Verhältnissen — = —, — = —, ••• 
7 % 7 «2 
enthalten sind. Ist also — ein rationales Verhältniss, 
«i 
so besteht der Algorithmus (1) nur aus einer endlichen An 
zahl von Gleichungen von der Form (!').