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Dritte Vorlesung 
Ist dagegen ein irrationales Verhältnis, so ist 
die Anzahl der Gleichungen (1) unbeschränkt; denn offenbar 
kann die Rechnung solange immer noch um eine Stelle weiter 
geführt werden, als keine der Zahlen a 2 , a 3 , • • • gleich Null 
wird, und dieser Fall kann jetzt nicht eintreten; denn würde 
z.B. = 0, so würde aus der Gleichung ai—i =^¿—1«» + «¿+i 
a i—i 
das Yerhältniss —und damit auch alle vorhergehenden 
Verhältnisse , ••• bis zum letzten —, dies gegen 
a i— 1 a i— 2 a l 
die Voraussetzung, rational werden. Man kann hiernach in 
diesem Falle passend schreiben: 
a — p 0 a i ~h a 2 
% =Pl<* 2 + % 
«2 =P2 a ü + «4 
(1") 
Für einen rationalen Werth — findet man aus den Glei- 
«i 
chungen (!') durch successives Fortschaffen der Verhältnisse 
, • • • seine Entwicklung in einen Kettenbruch: 
J L_ 
^ Pt-1 7 
a . 1 
«i ~ Po K + — 
1 P2 + 
wofür wir der grösseren Bequemlichkeit wegen das Symbol 
( 4 ) ~ = Ool Pu Pu • • • Pt-1) 
setzen wollen. Dabei sollj) 0 , welches eine positive ganze Zahl 
oder die Null sein konnte, während alle andern p wesentlich 
positive ganze Zahlen waren, das Anfangsglied, die letztem 
die T heilnenn er genannt werden, sodass der Satz gilt: 
Jede (positive) rationale Zahl kann in einen endlichen 
Kettenbruch entwickelt werden, dessen sämmtliche 
Theilnenner positive ganze Zahlen, dessen Theil- 
zähler der positiven Einheit gleich sind. 
Auch jede (positive) Irrationalzahl — kann aus den 
a i 
Gleichungen (1") in einen ähnlichen Kettenbruch entwickelt