Die quadratischen Irrationellen. 
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3. Sehen wir jetzt, was aus diesen Beziehungen sich 
sch Hessen lässt. Im Ausdrucke (8) für A i+1 ist der Faktor 
Ci — £l 0 c'¿ nach der Natur der aufeinanderfolgenden Näherungs 
brüche abwechselnd positiv und negativ, wenn i alle ganz 
zahligen Werthe durchläuft. Wenn daher der dritte Faktor 
Ci — ßoei von einem bestimmten Werthe des Index i an 
dauernd dasselbe Vorzeichen beibehält, so wird von dieser 
Stelle an bei wachsendem Index abwechselnd das eine 
und das andere Vorzeichen erhalten. Dies tritt aber in der 
That ein. Denn, da — — ß 0 mit wachsendem Index i gegen 
c i 
Null convergirt, wird es von einem hinreichend grossen Index 
i — 7c an stets numerisch kleiner bleiben als ß 0 — ß<^, nnd 
folglich wird dann 
Ci — c/ß 0 -f (ß 0 — ßo) c / = °i — c 'i 
dasselbe Vorzeichen haben und für jeden grösseren Werth 
von i behalten, wie ß 0 — ßo. 
Hiernach werden 
-Afc-f-i, Ak+2, Ak+3, • • • 
abwechselndes Vorzeichen haben, und es ist leicht 
zu sehen, dass allgemein e k + h • Ak+h positiv ist. Denn 
in der Formel 
Ak+h — A x (ck+h—i — Ck+u—iß 0 ) (Cjt+A—i — Cyfc4-/ t _ißo) 
hat nach der Annahme der letzte Faktor dasselbe Vorzeichen 
wie ß 0 — ßo, d. h. aber, da 
ß 0 — ßo 
2>/D 
-A 
ist, das entgegengesetzte Vorzeichen wie A 1; und folglich muss 
das entgegengesetzte Vorzeichen haben, wie der Aus 
druck Ci+h-i — c'k+h-iß 0 , d. h. positiv oder negativ sein, je- 
nachdem 7c h gerade oder ungerade ist. 
Bezeichnen hiernach &k+h, ßi+A die erste und zweite 
Wurzel der quadratischen Form 
(A*4-ä , s k + h I>k+h, Hfc-i-Ä-j-i), 
so sind für jedes positive h diese beiden Wurzeln nothwendig