Die quadratischen Irrationellen. 
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5. Beachtet man weiter, dass auch £l' n — £lh+ 2r sein 
wird, so folgt, weil p n —x, Vn+2r-i die in den Wertlien 
bez. enthaltenen grössten Ganzen 
sind, auch die Gleichheit dieser beiden Zahlen, hieraus aber 
mittels der Beziehung (11) die Gleichheit — B n +2r—x, 
und endlich nach der Gleichung (12) auch A n —i = A n + 2 r—i, 
d. h. die Periode der benachbarten Formen kann auch weiter 
nach links hin fortgesetzt werden. Indessen ist dieser Fort 
setzung eine gewisse Schranke gesetzt durch den Umstand, 
dass das bei dieser Überlegung benutzte Endergebniss der 
No. 4 nur für h > 2 gilt. Infolge davon wird also jedenfalls 
sich erschliessen lassen, dass die Periodicität in der Reihe der 
quadratischen Formen schon von der Form (Ak+v, £ Jc+2 B k + 2 , 
Ak+3) und entsprechend die des Kettenbruches vom Theil- 
nenner p k +z an stattfindet. Wenn jedoch schon A k und A k + X 
entgegengesetztes Vorzeichen hätten, so würde, wenn 7s > 0 
ist, die Fortsetzung der Periode noch um ein Glied weiter 
nach links hin möglich sein, diese selbst also schon mit der 
Form {A k +1, £ h+i B k j r x, A k +i) bez. mit dem Theilnenner 
p k +x ihren Anfang nehmen. Ist 7: — 0, so ist, um den gleichen 
Schluss ziehen zu dürfen, die Voraussetzung nothwendig, dass 
p 0 positiv ist. Denn er beruht wesentlich auf dem Umstande, 
dass Pk+h—2 von Null verschieden ist, und dies ist für Je — 0, 
h = 2 eben nur unter jener Voraussetzung der Fall. 
6. Dies vorausgeschickt, wollen wir nun unsere bisherigen 
Betrachtungen specialisiren, indem wir bezüglich der Form 
(-4 0 , Bq, A x ) annehmen, nicht nur, dass die erste Wurzel 
positiv, sondern auch, dass die zweite Wurzel £l' 0 negativ sei. 
Diese Annahme erfordert, dass A 0 , A x entgegengesetzte Vor 
zeichen haben, nämlich A 0 positiv, A x negativ sei, und hat 
zur Folge, dass in dem Ausdrucke (8) für Ai+1 der letzte 
Faktor für jeden Werth des Index i positiv ist, sodass Je — 0 
angenommen werden kann. Nach der zuletzt gemachten Vor 
bemerkung wird also die Periodicität des Kettenbruchs für £l 0 
sicherlich schon von dem Theilnenner p x an stattfinden, wenn 
p 0 positiv, d. h. £l 0 > 1 ist. Ist gleichzeitig SIq numerisch 
kleiner als Eins, so findet man aus der Beziehung