Vorhandensein transcendente!- Zahlen etc. 
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(3) C i. 
Wächst nun i über jede Grenze hinaus, so nähert sich 
das Produkt 
a (t - *0 *0 • • • (I - 
ohne Ende der endlichen, von Null verschiedenen Grenze 
Cl ((¡Cq X-^j (Xq X^) * • • (Xq X n —j) 
und bleibt demnach für jedes i sicher numerisch kleiner als 
eine gewisse endliche Zahl 7c; weil zugleich C als ganze Zahl 
mindestens gleich + 1 ist, wird die rechte Seite der Glei 
chung (3) numerisch stets grösser sein als 
Jfccp 
Wenn man 
andererseits in der Gleichung (14) der 3. Vorlesung h = i 
setzt, und versteht unter a, a x die Werthe x 0 , 1 resp., ersetzt 
ferner auf ihrer rechten Seite a x durch seinen Ausdruck 
c[ai -}- i, so nimmt mit ihrer Hilfe die linke Seite 
der Gleichung (3) folgende Gestalt an: 
(- 1)' • 
1 
<(<«* + C i-i a i+l) ’ 
und demnach gilt im numerischen Sinne nachstehende Un 
gleichheit: 
a i+i . 1 
aus welcher 
also umsomehr 
c 'i a i + > & • ci 
+ G—i < 7c • c'i 
n — 1 > 
l i+1 
< l • cP 
w i+1 
und wieder umsomehr die Ungleichheit 
(4) Pi<Tc- d n - 2 
hervorgeht. Also: 
Die Theilnenner eines Kettenbruches, in welchen 
eine positive Wurzel einer ganzzahligen irreduktibeln