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Fünfte Vorlesung
Wurzel einer ganzzahligen quadratischen Gleichung sein kann,
so haben wir im wesentlichen alles angeführt, was bis in die
neue Zeit hinein mit Bezug auf unsere Frage geleistet worden
war. Erst im Jahre 1874 gelang es Herrn Hermite, auf
höchst geniale Weise und unter Anwendung höherer ana
lytischer Hilfsmittel, den strengen Nachweis zu führen, dass
die Zahl e eine transcendente Zahl ist.*) Auf seiner Grund
lage weiter bauend, fand darauf Herr Linde mann**) im
Jahre 1882 dasselbe Ergebniss für die Zahl tc; sein nicht
ganz leichter Beweis ist später von Herrn Weierstrass***)
durch einfachere Betrachtungen ersetzt worden.
Obwohl hiernach die früheren Untersuchungen durch die
zuletzt genannten allgemeinen Erkenntnisse überholt und über
flüssig gemacht worden sind, theilen wir der Vollständigkeit
wegen sie zunächst hier in der Kürze mit.
4. Die Grundlage der Untersuchungen von Lambert
und Legendre ist ein gewisser unendlicher Kettenbruch,
welchen wir daher zuerst herleiten müssen. Er ist zwar nicht
von derselben Art, wie die in der 8. Vorlesung behandelten
Kettenbrüche, doch sehen wir hier von der näheren Be
sprechung solcher allgemeineren Kettenbrüche und der Gesetze,
denen sie unterliegen, ab, weil wir die darzustellenden Be
trachtungen nicht zum Zwecke des theoretischen Aufbaues,
sondern ausschliesslich ihres geschichtlichen Interesses wegen
entwickeln.
Setzen wir
so bestätigt sich ohne Mühe die Beziehung
9>W ~ 9>(* + 1) = i) * 9>(* + 2 )>
und hieraus, wenn
(5)
*) Seine Untersuchung ist von ihm herausgegeben in der Schrift:
Sur la fonction exponentielle, Paris 1874.
**) In den Mathematischen Annalen Bd. 20, pag. 213.
***) Sitzungsberichte der Berliner Akademie vom Jahre 1885, p. 1067