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Fünfte Vorlesung 
c TO 
b n'-f- to 
n" -{-••• 
d to 
c 
n" -f” m 
u. s. w. Dem eben Gesagten zufolge bilden die Wertlie b ; c, 
d, e, • • • eine unbegrenzte Reibe abnehmender Werthe. 
Ferner aber finden sich aus den Gleichungen 
to' 
u. s. w. 
b 
TO c 
a 
die folgenden: 
c = ma — nb, d — mb — nc, e = m"c — n"d, • • • 
aus welchen sich c, d, e, • • • als ganze Zahlen ergeben. Man 
gelangt also zu einer unbegrenzten Reihe numerisch ab 
nehmender ganzzahliger Werthe, welche nicht möglich ist, 
und damit ist die Behauptung erwiesen. 
Dieselbe Behauptung bleibt auch richtig, wenn 
der Kettenbruch (9) nicht vom Anfänge, sondern erst 
von einer späteren Stelle an die Bedingungen des 
vorigen Satzes erfüllt. Erfüllt er sie z. B. erst vom Gliede 
-~777” an, so würde der Kettenbruch 
n ' 
TO 
0 n"' -(- to' 
nach dem vorigen Satze irrational sein, und daher auch, wie 
leicht zu sehen, der Bruch 
TO 
n -f- to' 
n 4" TO 
n" -f- CO 
d. h. der ganze Kettenbruch (9), nicht rational sein können. 
6. Nachdem diese Hilfsbetrachtung zu Ende geführt ist, 
wollen wir nun annehmen, in den Kettenbrüchen (7) und (8) 
werde unter x ein rationaler Werth — verstanden. Sie werden 
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