Vorhandensein transcendenter Zahlen etc. 
59 
dann offenbar von einer gewissen Stelle an die "Bedingungen 
des Hilfssatzes erfüllen, da die Brüche 
p 2 p 2 p 2 
1 . q* ’ 3 . g 2 ’ 5 • q A 7 
von einer bestimmten Stelle an kleiner als Eins bleiben. Hier 
aus schliessen wir dann also sogleich, dass weder e* noch 
tang x gleichzeitig mit x rational sein können, oder anders 
ausgedrückt: Jede Potenz von e mit rationalem Ex 
ponenten ist irrational. Desgleichen ist die Tan 
gente jedes rationalen Bogens irrational. 
Da nun für x = ~ gefunden wird tang x = tang ^ = 1 
also gleich einer rationalen Zahl, so kann j und folglich auch 
jt nicht einer rationalen Zahl gleich sein. Wir schliessen 
demnach: Die Zahl tc ist irrational. 
Diesen Lambert’schen Sätzen konnte Legendre, wie 
schon bemerkt, vermittelst seines Hilfssatzes noch einen 
weiteren hinzufügen. Die Gleichung (8) giebt nämlich, wenn 
x — 7t gesetzt wird, die folgende: 
3 — re 2 
5 — • • 
welche nicht anders bestehen kann, als wenn der die Zahl % 
theilende Ausdruck unendlich gross und folglich 
7 — • • • 
ist. Demnach kann % 2 keine rationale Zahl sein, denn 
sonst wäre der Kettenbruch von der Art des Kettenbruches (9) 
und könnte demnach nicht den rationalen Werth 0 haben, den 
er doch besitzt. 
7. Die Irrationalität der Zahl e selbst kann übrigens 
weit einfacher mittels der bekannten, diese Zahl definirenden 
Reihe 
e = 2 + jT2 “h 1.2.3 4" 1.2.3 ri