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Dritte Vorlesung 
gefunden werden, wenn man dem n allmählich alle ganz 
zahligen Werthe beilegt, der Reihe nach sowohl das obere 
als das untere Vorzeichen nimmt und jedesmal die rationalen 
Theile sowie die irrationalen Theile rechts und links gleich 
setzt. Die Grundlage dieses Nachweises ist aber die That- 
sache, dass es unendlich viele ganze Zahlen x, y giebt, für 
welche 
ist. Und diese Thatsache wird durch den obigen Satz sogleich 
als richtig erkannt, wenn man a — ]/D, a 1 — 1 wählt. Denn 
die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche des Ketten 
bruches für ]/D bilden dann unendlich viel Systeme x — c*, 
y — c' k von der angegebenen Beschaffenheit. 
4. Im vorigen haben wir immer nur endliche Ketten 
brüche betrachtet; denn auch in dem Falle eines irrationalen 
Verhältnisses dachten wir uns doch den Algorithmus (1") 
stets nur bis zu einer zwar beliebigen aber bestimmten Stelle 
hin fortgesetzt. Nun werde jedoch eine ganz beliebige un 
endlich fortlaufende Reihe positiver ganzer Zahlen p 0 ,p 17 p 2 , • 
deren erste auch Null sein kann, als gegeben angesehen und 
der unendliche Kettenbruch 
(K) 
Ooi p lf Pu P a > * • 0 
betrachtet. Es fragt sich vor allem, stellt ein solcher einen 
bestimmten Werth vor oder nicht? Bricht man ihn an einer 
bestimmten Stelle p n ab, so erhält man den endlichen Werth 
-4; die Frage ist demnach, ob ~ mit unendlich wachsendem 
C n c n , 
Index n gegen einen Grenzwerth convergirt. Betrachten wir 
hierzu die beiden unbegrenzten Zahlenreihen 
e. 
Nach Gleichung (12) findet sich