Full text: Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen

62 
Fünfte Vorlesung 
dem positiven Werthe x enthalten ist, und m eine positive 
ganze Zahl, so giebt die Summe 
*(!) + *(?)+ *(?) + -• 
fortgesetzt, bis sie von selber abbricht, die Anzahl an, wie oft 
der Faktor 2 in dem Produkte 1 • 2 • 3 • • • m enthalten ist. 
Insbesondere findet sich hiernach, wenn m — 2 1 ist, der Werth 
jener Summe oder diese Anzahl gleich 
2 i ~ 1 -f 2 i ’~ 2 H h 2 + 1 
d. i. 2* — 1 d. i. 
m — 1, 
und wenn w = 2 l -{- 1 ist, gleich 2 i — 1 d. i. 
m — 2. 
Allgemein aber ist jene Summe selbstverständlich kleiner als 
die unendliche Reihe 
m . m . m . 
¥ ‘ T ' ¥ ' ‘ 
deren Werth m ist. Hebt man demnach im Bruche 
2 m 
1 • 2 • 3 • • • m 
nach Möglichkeit den Faktor 2 aus Zähler und Nenner her 
aus, so bleibt im Zähler eine Potenz von 2, etwa 2 a,n mit 
positivem Exponenten a m , welcher speciell in den beiden 
hervorgehobenen Fällen den Werth 1 bez. 2 haben wird; der 
so 
vereinfachte Bruch möge 
-— genannt werden 
Ist n > m 
und setzt man, in gleicher Weise vereinfacht, 
2” 2 
1 • 2 • 3 • • • n p n ’ 
so wird der Nenner p n offenbar alle in p m verbliebenen, näm 
lich ungeraden Faktoren ebenfalls enthalten, also durch p m 
theilbar sein müssen. 
Dies vorausgeschickt, wollen wir nun die Annahme unter 
suchen, dass e 2 Wurzel der Gleichung 
ax 2 — bx + c — 0
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.