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Fünfte Vorlesung
dem positiven Werthe x enthalten ist, und m eine positive
ganze Zahl, so giebt die Summe
*(!) + *(?)+ *(?) + -•
fortgesetzt, bis sie von selber abbricht, die Anzahl an, wie oft
der Faktor 2 in dem Produkte 1 • 2 • 3 • • • m enthalten ist.
Insbesondere findet sich hiernach, wenn m — 2 1 ist, der Werth
jener Summe oder diese Anzahl gleich
2 i ~ 1 -f 2 i ’~ 2 H h 2 + 1
d. i. 2* — 1 d. i.
m — 1,
und wenn w = 2 l -{- 1 ist, gleich 2 i — 1 d. i.
m — 2.
Allgemein aber ist jene Summe selbstverständlich kleiner als
die unendliche Reihe
m . m . m .
¥ ‘ T ' ¥ ' ‘
deren Werth m ist. Hebt man demnach im Bruche
2 m
1 • 2 • 3 • • • m
nach Möglichkeit den Faktor 2 aus Zähler und Nenner her
aus, so bleibt im Zähler eine Potenz von 2, etwa 2 a,n mit
positivem Exponenten a m , welcher speciell in den beiden
hervorgehobenen Fällen den Werth 1 bez. 2 haben wird; der
so
vereinfachte Bruch möge
-— genannt werden
Ist n > m
und setzt man, in gleicher Weise vereinfacht,
2” 2
1 • 2 • 3 • • • n p n ’
so wird der Nenner p n offenbar alle in p m verbliebenen, näm
lich ungeraden Faktoren ebenfalls enthalten, also durch p m
theilbar sein müssen.
Dies vorausgeschickt, wollen wir nun die Annahme unter
suchen, dass e 2 Wurzel der Gleichung
ax 2 — bx + c — 0